Проектирование цифровых фильтров

цифровой фильтр - дискретная линейная система с постоянными параметрами, которая реализуется на основе использования арифметических устройств с ограниченной точностью.

проектирование цифрового фильтра: выбор структурной схемы фильтра, определение коэффициентов фильтра, определение разрядности коэффициентов и разрядностей умножителей и сумматоров, которые обеспечивают выполнение требований, задаваемых на характеристики фильтра (передаточные, импульсные, частотные).

Требования для цифровых фильтров часто задаются в частотной области достаточно задать требования только для 0, поскольку остальная часть может быть выведена на основе свойств симметрии.

методы проектирования можно разбить на два класса: 1. Прямые методы проектирования (проектирование БИХ и КИХ-фильтров): а) оптимальные методы: метод минимизации среднеквадратической ошибки; метод минимизации модуля ошибки; метод равновеликих пульсаций и др. методы.

б) субоптимальные методы: метод взвешивания; метод частотной выборки.

2. Методы проектирования по аналоговому прототипу (проектирование БИХ - фильтров): а) метод инвариантности импульсной характеристики; б) метод численного интегрирования (метод Эйлера); в) метод билинейного Z – преобразования; г) метод обобщённого Z – преобразования;

основные достоинства КИХ-фильтров: Методы расчета цифровых КИХ- фильтров с линейной фазой 1) легко создать фильтр с линейной ФЧХ; 2) можно построить как по нерекурсивной, так и рекурсивной схеме ; 3) КИХ-фильтры, реализуемые по нерекурсивной форме, всегда устойчивы; 4) при нерекурсивной реализации КИХ- фильтров легко минимизировать шумы округления.

Основные недостатки КИХ-фильтров: 1) для аппроксимации частотных характеристик с острыми срезами (мала переходная область) требуется импульсная характеристика с большим числом отчётов N; 2) задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазой не всегда равно целому числу интервалов дискретизации.

Передаточная функция физически реализуемого КИХ-фильтра имеет вид Частотная характеристика Для действительной последовательности h(n)

Если импульсная характеристика удовлетворяет условию симметрии или антисимметрии, т.е. Где - постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации то КИХ-фильтр имеет линейную ФЧХ

Фильтр вида 1. Симметричная импульсная характеристика, нечетное N.

реализация режекторных и высокочастотных фильтров или

Фильтр вида 2. Симметричная импульсная характеристика, четное N

или реализация низкочастотных и полосовых фильтров

Фильтр вида 3. Антисимметричная импульсная характеристика, нечетное N.

реализация полосовых фильтров и преобразователей Гильберта

Фильтр вида 4. Антисимметричная импульсная характеристика, четное N.

реализация высокочастотных фильтров и преобразователей Гильберта

Расчет КИХ-фильтров по методу частотной выборки КИХ-фильтр может быть однозначно задан как коэффициентами импульсной характеристики h(n), так и коэффициентами ДПФ импульсной характеристики

для аппроксимации произвольной непрерывной частотной характеристики следует произвести ее дискретизацию по частоте в N равноотстоящих точках на единичной окружности (взять частотную выборку) и найти непрерывную частотную характеристику, интерполируя отсчеты частотной характеристики.

При расчете фильтров методом частотной выборки используют два способа выбора частотных отсчетов.

Первый способ состоит в выборе N равноотстоящих отсчетов заданной частотной характеристики на единичной окружности в точках соответствующих N частотам, для которых вычисляется N-точечное ДПФ. Возможен другой набор равноотстоящих частот

Выбор вида фильтра с частотной выборкой, четного или нечетного N производится разработчиком и зависит от назначения рассчитываемого фильтра. По отсчетам частотной характеристики по формуле ОДПФ определяем отсчеты импульсной характеристики - характеристика нерекурсивного фильтра

Зная импульсную характеристику, определяем передаточную функцию фильтра, используя z- преобразование По передаточной функции представляем схему фильтра

Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания Идея метода: Задаются желаемым комплексным коэффициентом передачи фильтра в виде непрерывной функции, определенной в заданном диапазоне частот Обратное преобразование Фурье этой характеристики даст бесконечную в обе стороны последовательность импульсной характеристики

Для получения проектируемого КИХ- фильтра эта последовательность усекается. Простое усечение последовательности отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию прямоугольного окна вида Из-за усечения заданная частотная характеристика искажается

Это приводит к появлению переходных частотных полос между полосами пропускания и не пропускания, а так же к появлению колебаний коэффициента передачи в полосах пропускания; в полосах не пропускания АЧХ приобретает лепестковый характер

Чтобы достичь хорошей аппроксимации, надо изменить значения коэффициентов усеченной импульсной характеристики с помощью конечной весовой последовательностью W(nT), которая называется окном, так, чтобы полученная импульсная характеристика обеспечила бы заданные требования на АХЧ. – последовательность конечной длины

Окна, применяемые при синтезе фильтров Окно Бартлетта или треугольное N-четное Окно Ханна

Окно Хемминга Окно Блэкмана

Окно Кайзера – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода, - параметр формы окна

Расчет БИХ-фильтров по аналоговому прототипу При преобразовании аналоговой системы в цифровую мы должны получить либо H(z), либо h(n) из расчета аналогового фильтра. Необходимо, чтобы существенные свойства аналоговой частотной характеристики сохранялись в частотной характеристике цифрового фильтра.

Метод инвариантности импульсной характеристики Основа метода - выбор импульсной характеристики цифрового фильтра, которая будет подобной импульсной характеристике аналогового фильтра. Рассмотрим передаточную функцию аналогового фильтра, представленную в виде разложения на простые дроби

Передаточная функция цифрового фильтра Н(z) определяется выражением передаточная функция цифрового фильтра Н(z) соответствует структуре параллельной формы при высоких частотах дискретизации (малом Т) цифровой фильтр может иметь очень большое усиление.

Поэтому При расчете происходит искажение частотной характеристики из-за эффекта наложения. Метод непригоден для проектирования ФВЧ и РФ

Метод билинейного преобразования Связь между Z-плоскостью и Р-плоскостью выражается билинейным преобразованием:

Аналоговые и цифровые частоты связаны между собой нелинейно: При расчете требования к частотам аналогового фильтра необходимо предварительно скорректировать :

деформация шкалы частот будет проявляться в искажениях фазо-частотной характеристики фильтра. При этом и импульсные характеристики аналогового и цифрового фильтров будут различаться Метод применим для расчетов фильтров нижних частот (ФНЧ), фильтров верхних частот (ФВЧ), полосовых фильтров (ПФ), заграждающих фильтров (ЗФ).

Расчет БИХ-фильтров методом обобщенного билинейного преобразования Порядок расчета: 1. Требования на цифровой фильтр переводится в требования аналогового фильтра нижних частот 2. Производится расчет аналогового фильтра нижних частот и находится его передаточная функция

3. По найденной передаточной функция аналогового фильтра нижних частот с помощью соответствующих билинейных преобразований определяется передаточная функция цифрового фильтра.

Нормирование частот полос пропускания и непропускания цифровых фильтров а) цифровой фильтр нижних частот б) цифровой фильтр верхних частот

в) цифровой полосовой фильтр г) цифровой заграждающий фильтр

Определение нормированных частот полос пропускания и непропускания аналогового фильтра-прототипа а) б)

в)

г)

формулы перехода от комплексной переменной р к комплексной переменной z а) цифровой фильтр нижних частот б) цифровой фильтр верхних частот

в) цифровой полосовой фильтр г) цифровой режекторный фильтр

Адаптивная обработка сигналов Понятие адаптивных фильтров

Требования к АЧХ адаптивных фильтров не задаются, поскольку их характеристики изменяются во времени Основная задача адаптивного фильтра (АФ) – повысить качество приема или обработки сигнала Адаптивными называют фильтры, частотные характеристики которых зависят от спектров обрабатываемых сигналов.

Основные области применения АФ: коррекция искажений при передаче сигнала по каналам связи; подавление шумов компрессия (сжатие) речевых сигналов в системах с линейным предсказанием (вокодерах);

адаптивные антенные системы цифровые приемники связи, в которых адаптивные фильтры используются, чтобы обеспечить балансировку межсимвольной помехи и для идентификации канала; моделирование системы, в которой адаптивный фильтр используется как модель, чтобы оценить характеристики неизвестной системы

Принципы адаптации в системах обработки информации Под термином «адаптивный цифровой фильтр» будем понимать такую систему передачи и обработки информации, которая само приспосабливается к изменяющимся входным воздействиям с целью оптимального выделения полезного сигнала при выбранном критерии качества фильтрации

Классы динамических системы по принципу адаптации Системы, адаптирующиеся по входному сигналу Системы, адаптирующиеся по выходному сигналу Системы, адаптирующиеся за счет прямой подстройки параметров фильтра

Системы, адаптирующиеся по тестовым сигналам Системы, адаптирующиеся по экспериментальным значениям некоторых параметров или характеристик

Состав АФ цифровой фильтр с переменными коэффициентами; устройство определения ошибки; устройство, реализующее алгоритм адаптации

Принцип прямой адаптации Выходной сигнал фильтра, отличающийся от эталонного, вычитается из. Получаемая ошибка подается на устройство адаптации, которое так изменяет коэффициенты цифрового фильтра (ЦФ), чтобы свести к минимуму

Принцип обратной адаптации По сигналу восстанавливается сигнал, который будет отличаться от входного сигнала на величину ошибки, которая и управляет адаптацией. Введение линии задержки необходимо для временного согласования сигналов и.

Процесс адаптации может быть как одноцикловым (одношаговым), так и итеративным, когда адаптация осуществляется шаг за шагом. Основными характеристиками алгоритма адаптации являются скорость сходимости при заданной ошибке и сложность (объем вычислений).

На практике наиболее часто применяются алгоритмы, основанные на одном из двух критериев: минимума среднеквадратической ошибки (СКО) и метода наименьших квадратов (МНК).

В зависимости от характера усреднения ошибки фильтрации по заданному критерию выделяют глобально- адаптивные и локально-адаптивные фильтры. Если ошибка усредняется по всему обрабатываемому сигналу, фильтр называется глобально- адаптивным (обычно КИХ-фильтры); если адаптация осуществляется в пределах отдельных фрагментов (кадров) сигнала, фильтр называется локально-адаптивным (обычно БИХ- фильтры).

Оптимальный фильтр Винера Пусть входной дискретный случайный сигнал x[k] обрабатывается нерекурсивным дискретным фильтром порядка N, коэффициенты которого могут быть представлены вектором- столбцом. Выходной сигнал фильтра

где – вектор-столбец содержимого линии задержки фильтра на k-м шаге. d[k] - образцовый сигнал Ошибка воспроизведения образцового сигнала

Поскольку e[k] является случайным процессом, в качестве меры ее величины принимают средний квадрат - автокорреляционная функция (АКФ) случайного процесса {x[k]}.

– транспонированный вектор-столбец взаимных корреляций между k-м отсчетом образцового сигнала и содержимым линии задержки фильтра. R – корреляционная матрица сигнала, имеющая размер.

Для стационарного случайного процесса корреляционная матрица имеет вид матрицы Теплица, то есть на ее диагоналях стоят одинаковые величины:

искомое решение для оптимальных коэффициентов фильтра: Такой фильтр называется фильтром Винера минимально достижимая дисперсия сигнала ошибки

Блок-схема адаптивного КИХ-фильтра

Алгоритмы адаптивной фильтрации 1. метод наискорейшего спуска вектор коэффициентов фильтра μ – положительный коэффициент, называемый размером шага алгоритм сходится, если

– максимальное собственное число корреляционной матрицы R Скорость сходимости зависит от разброса собственных чисел корреляционной матрицы R – чем меньше отношение, тем быстрее сходится итерационный процесс

2. Метод наименьших квадратов обеспечивает расчет коэффициентов оптимального фильтра {h[k]} без явного вычисления последовательностей корреляции {R xx [k]} и {R dx [k]}.

μ – параметр размера шага x[n-k] – выборка входного сигнала, расположенного на k-м выводе фильтра в момент времени n Для обеспечения устойчивости параметр μ должен быть выбран в диапазоне

N – длина адаптивного КИХ-фильтра P x – мощность входного сигнала

Идентификация систем