СФЕРА И ШАР Геометрия –11 класс Липатова Е.Ю. – учитель математики МБОУ гимназии 17

Окружность и круг d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус d – диаметр r Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии (R) от данной точки (центра т.О). D О R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром. D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. т. О – центр сферы R

Шар Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Уравнение окружности О С(х 0 ;у 0 ) М(х;у) Уравнение окружности: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2

Уравнение сферы Зададим прямоугольную систему координат Оxyz z х у М(х;у;z) R C(x 0 ;y 0 ;z 0 ) МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 МС = R Следовательно, уравнение сферы имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Ответ: (x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Взаимное расположение окружности и прямой Возможны 3 случая: d d r Если d < r, то прямая и окружность имеют 2 общие точки. d= r Если d = r, то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d > r, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Взаимное расположение сферы и плоскости α C (0;0;d) х у z O Введем прямоугольную систему координат Oxyz Построим плоскость α, совпадающую с плоскостью Оху Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0;d), где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α. В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0;0;d) х у z O r М 1 случай: d < R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r. r = R 2 - d 2 Сечение шара плоскостью есть круг.

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0;0;d) х у z O 2 случай: d = R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

Взаимное расположение сферы и плоскости α х у z O C (0;0;d) Рассмотрим 3 случай: d > R, т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Площадь сферы и объём шара. Площадь сферы радиуса R: S сф =4 π R 2 S шара =4 S круга

Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов. Ответ: 12

В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π. Ответ: 4,5

Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π. Ответ: 4,5

Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Ответ: 10

Объем шара равен 288π. Найдите площадь его поверхности, деленную на π. Ответ: 144

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара. Ответ: 24

Куб вписан в шар радиуса 3. Найдите объем куба. Ответ: 8

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 72. Найдите радиус сферы. Ответ: 7

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен 282. Найдите образующую конуса. Ответ: 56

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. Ответ: 166,5

Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности. Ответ: 24

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса. Ответ: 7

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара. Ответ: 24

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара. Ответ: 12

Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза? Ответ: 4

Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара. Ответ: 12

Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы. Ответ: 3

Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго? Ответ: 9