Задачи оптимизации Среди прикладных задач, решаемых с помощью математики, выделяются, так называемые, задачи оптимизации. Среди них: транспортная задача о составлении оптимального способа перевозок грузов; задача о диете, т.е. о составлении наиболее экономного рациона питания, удовлетворяющего определенным медицинским требованиям; задача составления оптимального плана производства; задача рационального использования посевных площадей и т.д. Несмотря на различные содержательные ситуации в этих задачах, математические модели, их описывающие, имеют много общего, и все они решаются одним и тем же методом, разработанным отечественным математиком Л.В. Канторовичем ( ). В качестве примера задачи оптимизации рассмотрим упрощенный вариант транспортной задачи.

Задача Наличие сырья, (в т) на складеПотребность в сырье, (в т) на заводе С1С1 С2С2 З 1 З 2 З 3 З Пусть на четыре завода З 1, З 2, З 3, З 4 требуется завезти сырье одинакового вида, которое хранится на двух складах С 1, С 2. Потребность данных заводов в сырье каждого вида указана в таблице 1, а расстояние от склада до завода - в таблице 2. Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т. е. такой, при котором общее число тонно-километров наименьшее. СкладРасстояние (в км) от склада до завода З 1 З 2 З 3 З 4 C1C С2С Таблица 1 Таблица 2

Решение Для решения этой задачи, в первую очередь, проанализируем ее условие и переведем его на язык математики, т. е. составим математическую модель. Для этого количество сырья, которое нужно перевезти со склада С 1 на заводы З 1, З 2, З 3, обозначим через x, y и z соответственно. Тогда на четвертый завод с этого склада нужно будет перевезти 20 - x – y - z сырья в тоннах, а со второго склада нужно будет перевезти соответственно 8 - x, 10 - y, 12 - z, x + y + z - 5 сырья в тоннах. Запишем эти данные в таблицу 3. СкладКол-во сырья (в т), перевезенное на заводы З 1 З 2 З 3 З 4 С 1 x y z 20 – x – y - z С x 10 - y 12 - zx + y + z - 5 Таблица 3

Решение (продолжеие) Поскольку все величины, входящие в эту таблицу, должны быть неотрицательными, получим следующую систему неравенств Эта система неравенств определяет многогранник M 1 M 2 M 3 C 1 CBAE 1 E 2 E 3 O 1, где M 1 (8,10,2), M 2 (0,10,10), M 3 (0,8,12), C 1 (8,0,12), C(8,0,0), B(8,10,0), A(0,10,0), E 1 (5,0,0), E 2 (0,5,0), E 3 (0,0,5), O 1 (0,0,12).

Решение (продолжение) Общее число тонно-километров выражается формулой: 5x + 6y + 4z + 10(20 - x - y - z) + 3(8 - x) + 7(10 - y) + 3(12 - z) + 7(x + y + z - 5) = x - 4y - 2z. Таким образом, задача сводится к отысканию наименьшего значения функции F = x - 4y - 2z на многограннике ограничений. Для этого достаточно найти наибольшее значение функции f = x + 4y + 2z. Тогда Fmin = fmax. Для нахождения наибольшего значения линейной функции на многограннике, достаточно вычислить значения функции в вершинах многогранника и выбрать из них наибольшее. Вычислим значение функции f = x + 4y + 2z в вершинах многогранника ограниче­ний: f(M1) = 52, f(M2) = 60, f(M3) = 56, f(C1) = 32, f(C) = 8, f(B) = 48, f(A) = 40, f(E1) = 5, f(E2) = 20, f(E3) = 10, f(O1) = 24. Легко видеть, что максимальное значение функции f равно 60. Тогда Fmin = = 235. Это значение функция F принимает в точке M2(0,10,10).

Ответ Таким образом, наиболее выгодный вариант перевозок задается таблицей 4. Таблица 4 СкладКол-во сырья (в т), перевезенное на заводы З 1 З 2 З 3 З 4 С С Заметим, что число независимых переменных в этой задаче было равно трем и поэтому в процессе ее решения получился многогранник. Если бы число независимых переменных равнялось двум, то получился бы многоугольник. В реальных задачах число независимых переменных значительно больше трех, и для получения геометрической интерпретации этих задач требуется рассмотрение n-мерного пространства и n-мерных многогранников с очень большим n. При решении таких задач используются электронно-вычислительные машины.

Упражнение 1 Какая фигура является графиком линейной функции z = ax + by + c? Ответ: Плоскость.

Упражнение 2 Как расположен график линейной функции z = ax + c по отношению к оси Oy? Ответ: Параллелен.

Упражнение 3 Как расположен график линейной функции z = ax + by по отношению к началу координат? Ответ: Проходит через начало координат.

Упражнение 4 Что произойдет с графиком линейной функции z = ax + by + c, если c: а) увеличить на единицу; б) уменьшить на единицу? Ответ: а) Поднимется на единицу; б) опустится на единицу.

Упражнение 5 Пусть математическая модель некоторой задачи представляется следующей системой ограничений Ответ: -2. На множестве решений этой системы найдите наименьшее значение функции F = y - x.

Упражнение 6 На трех складах хранится сырье одинакового вида в количествах соответственно 10 т, 20 т, 30 т. На завод нужно завезти 35 т сырья. Найдите наиболее выгодный вариант перевозок, если расстояния от складов до завода равны 7 км, 5 км, 8 км. Ответ: С 1-го склада – 10 т, со 2-го – 20 т, с 3-го – 5 т.

Упражнение 7 Решите предыдущую задачу при дополнительном требовании: со второго склада вывозится сырья не больше, чем с третьего. Ответ: С 1-го склада – 0 т, со 2-го и 3-го – 17,5 т.

Упражнение 8 Установка собирается из трех различных деталей А, Б, В. На одном станке можно за смену изготовить либо 12 деталей типа А, 18 типа Б и 30 типа В (первый режим), либо 20 деталей типа А, 15 типа Б и 9 типа В (второй режим). Хватит ли ста станков, чтобы изготовить за смену детали для 720 установок? Какое наименьшее число станков (и с какими режимами работы) нужно для выполнения заказа? Ответ: Хватит. Наименьшее число станков равно 44, из них 20 должны работать в первом режиме.