Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми

Содержание: Введение Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми Подборка задач Заключение

Введение Тема «Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми» традиционно считается трудной. Однако при надлежащем подходе и предварительной подготовке она вызывает у учащихся трудностей не более, чем любая другая. Способы нахождения или построения на чертеже нужного угла или отрезка, расстояния между скрещивающимися прямыми, описываемые в школьном учебнике, не всегда приводят к рациональному решению задачи. Поэтому появилась необходимость найти и изучить и другие способы решения задач данного вида. Важность этой темы для продолжения образования и её связь с другими школьными предметами достаточно показать на примере понятия момента силы в пространстве: линия действия силы и некоторый элемент конструкции, на который она воздействует, могут быть скрещивающимися прямыми, между которыми необходимо уметь, видеть и находить расстояние и угол. Для того, чтобы понять излагаемый материал, необходимо повторить основные понятия и определения, используемые в данной теме.

Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми Основные понятия и определения Угол между скрещивающимися прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Основные понятия и определения Определение скрещивающихся прямых Теорема о скрещивающихся прямых Понятие угла между скрещивающимися прямыми Определение расстояния от точки до плоскости Определение расстояния от точки до прямой

Определение скрещивающихся прямых Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости

ТЕОРЕМА Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и при том только одна.

Понятие угла между скрещивающимися прямыми: Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся.

Определение расстояния от точки до плоскости Длина перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости, называется расстоянием от точки до плоскости.

Определение расстояния от точки до прямой Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.

Угол между скрещивающимися прямыми Вопрос о нахождении угла между скрещивающимися прямыми в задачах данного вида является дополнительным, и не представляет особой сложности, если помнить, что он равен углу, образованному параллельным переносом одной из прямых до пересечения с другой.

Расстояние между скрещивающимися прямыми Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми рассмотрим три основных способа. При первых двух способах решения задача сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости. При третьем способе решения – к нахождению расстояния от точки до прямой.

Основная идея, при первом способе решения, заключается в построении плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой. Расстояние от любой точки второй прямой до построенной плоскости будет искомым.

Дано: В правильной шестиугольной призме ABCDA1B1C1D1 с высотой H и стороной основания a найти расстояние и угол между прямыми AA1 и D1E Пример 1 ( I способ)

Основная идея, при втором способе решения, заключается в построении двух параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой прямой. Расстояние между этими плоскостями будет искомым.

Пример 2 (II способ) Дано: В правильной шестиугольной призме ABCDA1B1C1 D1 с высотой H и стороной основания a найти расстояние и угол между прямыми AF и BE1.

Третий способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми основан на методе ортогонального проектирования. Использование этого метода основано на утверждении: Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость. Угол между второй прямой и указанной её проекцией дополняет до 90 о угол между данными скрещивающимися прямыми.

Пример 3 ( III способ) Дано: Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 15, высота равна 20. Найти: кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей её диагонали призмы.

Решение: Будем искать расстояние между AB и диагональю A1C (рис.11). Так как грань BB1C1C перпендикулярна AB, то построим проекции AB и A1C на эту грань. Проекцией AB является точка B. Точка C лежит в плоскости проекций, точка A1 спроектируется в точку B1, тогда проекцией прямой СA1 является прямая С B1. Следовательно, расстояние от точки B до B1C является искомым. Рассмотрим выносной чертеж (рис.12).

Рассмотрим ещё несколько задач, решаемых третьим способом.

Пример 4 Дано: Куб ABCDA1B1C1D1 AB=a Точка К – середина BC Найти: расстояние между прямыми AC и C1K

Пример 5 Дано: В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания а и боковым ребром 3/2а

Заключение: Школьной программой на тему « Угол и расстояние между скрещивающимися прямыми» отводится 1-2 урока, и не все ученики (и я в том числе) сразу разобрались в этой теме и научились применять её при решении задач. Рассмотрение дополнительного материала по данной теме позволяет понять её более глубоко, изучить новые способы решения задач данного типа, даёт возможность выбора более рационального способа решения, что, конечно, полезно любому ученику старших классов так как почти в каждом тесте ЕГЭ в части С встречаются задачи на нахождение угла или расстояния между скрещивающимися прямыми. Освоить дополнительный материал и применять его для решения усложненных задач по геометрии помогает мне дополнительная литература (список которой приведён ниже), а также консультации моего преподавателя по математике - Егоровой Ирины Васильевны.