Тема: Теория чисел в заданиях С6 из ЕГЭ XII Межрайонная научно-практическая конференция «Шаг в будущее» Секция: математика Выполнили: Ильдар Гарифуллин, Роман Синицкий 11 а класс, МОУ Лицей 6 Руководитель: Мунтян Е.М. учитель математики МОУ Лицей 6 г. Северобайкальск 2012 г.

Актуальность Сдать ЕГЭ – вот главная задача всех выпускников, причём желательно набрать больше баллов. От результатов ЕГЭ зависит кол-во и престиж ВУЗов, куда выпускник сможет поступить. Безусловно, на ЕГЭ нужно решать столько, сколько можешь. Задание С6 в ЕГЭ по математике оценивается самым высоким балом, но к сожалению очень маленький процент выпускников приступают к решению этого задания, считая его сложность запредельной. Мы хотим развеять этот миф и показать как решаются некоторые из этих заданий. Дальше приведена статистика выполнения задания С6 выпускниками школ, сдающих ЕГЭ по математике.

ПроцентКол-во Не приступили к выполнению задания С6 90.3% Решили С6 на 1 балл %1236 Решили С6 на 2 балла %269 Решили С6 на 3 балла 0.097%727 Решили С6 на 4 балла %123 Оценка в тестовых баллах (2011 г.) 4 балла в первичном виде 24 баллов в тестовом виде

Цели и задачи Цель проекта – Повысить процент решаемости задания. Задачи: Показать задания на тему «Теория чисел»; Сообщить ученикам основные сведения из элементарной теории чисел; Показать методы решения некоторых заданий С6 из ЕГЭ по математике.

Задача 1 (применения признака делимости на одиннадцать) Найдутся ли хотя бы три десятизначных числа, делящихся на 11, в записи каждого из которых использованы все цифры от 0 до 9?

Признак делимости на 11 (теория) Для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «+», если цифры находятся на нечётных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «-», если цифры находятся на чётных местах, делилась на 11.

Применение признака делимости на 11 Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на нечётных и на чётных местах, делится на 11. Запишем все цифры подряд: В написанном числе указанная разность сумм равна 5. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 – стоят на нечётных местах Цифры 1, 3, 5, 7, 9 – стоят на чётных местах ( )+( )=5

Меняя местами цифры, допусти 1 и 4, мы увеличиваем обе скобки на 3. А так как у нас 2 скобки то общая сумма увеличивается на 6 Получается число с на У нас было ( )+( )=5 После замены ( )+( )=11 Применение признака делимости на 11

Чтобы получить другие числа по заданию, достаточно поменять местами одну из пар чисел. При перестановки пар сумма в скобках не меняется, так как чётные числа остаются на чётных местах, а нечётные на нечётных Нас не просят найти все числа, поэтому достаточно 3: ( ; ; )

Задача 2 (применение знаний о рациональных числах) Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены арифметической прогрессии (d – целое). Из полученной записи удалены минусы, если они есть. В результате получается рациональное число. Найдите это число.

Рациональные числа (теория) Рациональное число – число, которое может быть представлено в виде дроби, где и – целые числа (m 0) Рациональные числа могут быть представлены лишь конечными десятичными или бесконечными периодическими дробями. Периодическая дробь – бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, стоит только периодически повторяющаяся определённая группа цифр.

Задача 3 геометрическая прогрессии. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 672 и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию?

В)если прогрессия состоит из трех элементов.

Задача 4 последовательность Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 14 раз больше, либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна А) Может ли последовательность состоять из двух членов? Б) Может ли последовательность состоять из трёх членов? В) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

В) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? чтобы найти наибольшее количество членов, нужно чтобы элементы были наименьшие из возможных, тесть числа 1 и 14. Возможны четыре варианта. 1)(14+1)+(14+1)…+(14+1)=7424 –количество элементов четно, первый элемент 14 2)14+(1+14)+(1+14)…+(1+14)=7424 –количество элементов нечетно, первый элемент 14 3) (1+14)+(1+14)…+(1+14)=7424 -количество элементов четно, первый элемент 1 4)1+(14+1)+(14+1)…+(14+1)=7424 -количество элементов нечетно, первый элемент 1 1,3)(14+1)n=7424 2) 14+(1+14)n= (14+1)n=7424 Очевидно, что 1,3,4- варианты 15n= n= n=7423 не подходят. n=494.9(3) n=494 n=494.8(6) 2)Во-втором случае у нас 494 пары (1+14) и первый элемент 14. Ответ.989

Задача 5 минимумы и максимумы Перед каждым из чисел 3, 4, 5, и 14, 15, произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 45 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Нахождение максимума

Нахождение минимума число не четное значит при расстановке знаков мы не сможем получить ноль, то есть наименьшим значением будет единица. 5(3 4 …….11)+9(14 15…..18)=1 5( )+9( )=1 5*25+9*(-14)=1

Задача 6 Теория чисел в решении систем уравнений и неравенств. Найдите все целочисленные решения системы

Решение: Рассмотрим I нер-во. Оно является квадратным относительно x, и имеет решение при D>0, т.е Целые y: -2;-1;0. При y=-2, второе уравнение не имеет решения. При y=-1, x=-7 или х=4. Но при х=-7, первое неравенство не выполняется. При y=0, x=2 или х=-2. Но при этих значениях первое не неравенство не выполняется. Ответ: (4;-1).