ЗАДАНИЕ В8 подготовка к ЕГЭ (справочный материал, решение задач) Учитель математики МОУ «СОШ с. Брыковка Духовницкого района Саратовской области» 2013

На схеме видно как ведет себя график функции и график ее производной. В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - красные точки на верхнем графике) - производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции возрастает и наоборот точка максимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции убывает.

решение Необходимо найти количество точек экстремума функции на промежутке от -6 до 9, точки экстремума - это точки минимума и максимума. В задаче дан не график функции,а график производной функции. Смотрим на схему и ищем аналогию: точки экстремума на графике функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с нулем, на нашем графике данного промежутка такая точка одна - в точке с координатой 7, Ответ: 1.

Задача очень похожа на предыдущую, отличие заключается только в том, что в прошлой надо было найти количество точек экстремума, а в этой саму точку экстремума. Итак, точки экстремума графика функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с осью Х, такая точка одна и равна она -3.

Решение: Итак, экстремумы графика функции - это точки пересечения графика производной функции и оси абсцисс (т.е. оси Х).

Точки минимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при возрастании графика производной функции (красные точки на графике). Точки максимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при убывании графика производной функции (синие точки на графике). Нам необходимо найти количество точек минимума ( красные точки). Как видно на графике, их 2. Ответ: 2.

Нахождение наибольших и наименьших значений графика функции на заданном промежутке Если график функции возрастает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а второе – наибольшим И наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наибольшим, а второе - наименьшим.

Промежутки монотонности функций (промежутки убывания и возрастания).

Итак, найти надо было количество целых точек, т.е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках убывания, в нашем случае это точки: х=2,х=3, х=4 (кстати, точка х=1 не подходит, т.к. в ней наблюдается максимум функции, а это не есть убывание функции), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3

Итак, найти надо было количество целых точек, т.е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках возрастания, в нашем случае это точки: х=-3,х=-2, х=-1 (кстати, точка х=-4 (обведена красным) не подходит, т.к. она исключена), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3.

На графике видно, что наибольший промежуток - это второй, его длина равна 4, значит ответ: 4

На графике видно, что наибольший промежуток - это первый, его длина равна 5, значит ответ: 5.

Уравнение касательной

Следовательно: k = 0, если угол φ = 0. Значит на графике такие касательные будут в точках:

Задача: На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-1; 11). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = -20. Решение: По условию, касательная || к графику функции y = -20. А y = -20 – это прямая || оси Х, следовательно касательная к графику имеет нулевой угол наклона, т.е. k = 0

Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо: 1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами: Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой; Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например. если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой. 3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции.

Угловой коэффициент касательной

Используемая литература: rekomendacii-zadanie-v8-chast-1 rekomendacii-zadanie-v8-chast-1