Շնորհակալություն մեր ռուս կոլեգաներին : Նյութերը համացանցից ներքաշվել են 2009 թ. վերապատրաստումների ժամանակ : Վերապատրաստումները անցկացվել են Կոտայքի մարզի Աբովյանի թիվ 10 միջն դպրոցում ( վերապատրաստող ` Ա. Խառատյան )` ԿՏԱԿ - ի և > հմնադրամի նախաձեռնությամբ 1

Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 13» г. Ачинска Алгебра и начала анализа 10 класс Девять способов решений одного тригонометрического уравнения Вершинский Максим

3 Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер / английский математик и педагог XX века/

4 Гипотеза :некоторые тригонометрические уравнения имеют несколько(больше двух) решений Задачи: 1. Выявить все возможные способы 2.Установить однозначность полученных корней 3. Систематизировать полученные результаты

5 Задача. Решить уравнение различными способами: sin x – cos x= 1. ?

6 Способ первый. Приведение уравнения к однородному. sin x – cos x = 1,.

7 Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители: sin x – cos x = 1 Далее так, как в первом способе.

8 Способ третий. Введение вспомогательного угла. sin x – cos x =1

9 Равнозначны ли результаты, полученные в рассмотренных способах решений данного уравнения sin x – cos x = 1? Покажу однозначность ответов. 1 и 2 –й способы x = /2 + 2 n, n Z x: /2; 5 /2 ; 9 /2; -3 /2; -7 /2;… x = + 2 n, b Z x = ; 3 ; 5 ; - ; -3 ;… 3-й способ x: /2; ; 5 /2 ; 3 ; 9 /2; - ; - 3 /2; -3 ; -7 /2…

10 Способ четвертый. Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. sin x – cos x = 1 Записал уравнение в виде: Применил формулу разности синусов. Далее так, как в третьем способе. 1

11 Способ пятый. Приведение к квадратному уравнению относительно одной функции. sin x - cos x =1 Возвёл в квадрат обе части уравнения: или

12 При решении уравнения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Сделаем проверку. Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений Первое и второе решение совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними. Проверять не буду. Проверю : Левая часть : а правая часть уравнения равна 1, следовательно это решение является посторонним.

13 Способ шестой.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. sin x – cos x = 1 sin 2 x - 2sin x cos x + cos 2 x = 1, sin 2 x + cos 2 x = 1 1 – 2sin x cos x = 1, 2sin x cos x = 0, Ответ: x = n, n Z, x= /2 + n, n Z. или cos x =0 x= /2 + n, n Z sin x = 0 x = n, n Z

14 Способ седьмой. Универсальная подстановка (выражение sin x и cos x через tg x/2). sin x – cos x =1 Выражение всех функций через tgх/2(универсальная подстановка) по формулам: Sin x –cosx = 1

15 Способ восьмой. Графический способ решения. sin x – cos x = 1

16 Способ девятый применение формулы суммы(разности) синуса и косинуса одного угла sinx-cosx=1, Asinx-Bcosx=Csin(x-t),

17 Проверю себя Решу несколько уравнений, применяя разные способы решения одного и того же тригонометрического уравнения : 1. sin2x + cosx = 0 ; 2. 3 sin x – cos x = 0 3. sin6x + sin3x = 0; 4. sin2x +cos2x = 1; 5. 3sin x + cos x = 1.

18 поиск решений выглядит Уравнения/способы sin2x + cosx = sin x – cos x = 0 3 cos4x + cos2x = 0 4 sin2x +cos2x = 1 5 3sin x + cos x = 1 1.Приведение уравнения к однородному. 2.Разложение левой части уравнения на множители. 3.Введение вспомогательного угла. 4.Преобразование разности (или суммы) тригонометрических функций в произведение. 5.Приведение к квадратному уравнению. 6.Возведение обеих частей уравнения в квадрат. 7.Универсальная подстановка. 8.Графическое решение. 9.Формула суммы(разности) синуса и косинуса через синус суммы углов

19 Пожелание: Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их». (Д.Пойа)