ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЛОГИКУ Логика, математическая логика и основания математики

Логика - наука о правильных способах рассуждения, т.е. таких способах рассуждения, при которых из верных исходных положений получаются верные результаты. О логике можно сказать, что она интересуется в первую очередь формой, а не содержанием доводов в том или ином рассуждении.

Логику можно разделить на формальную и математическую. Формальная логика делится на три подраздела: логика Буля логика высказываний логика предикатов Логика Буля основывается на отношении эквивалентности, при котором правая часть равенства всегда содержит ровно сто­лько же «истины», сколько и левая. Строго говоря, в этом случае не происходит приращение нового знания. Логика высказыва­ний и логика предикатов базируются уже на отношении порядка, при кото­ром правая часть выражения (заключение) содержит больше «истины», чем левая (посылки).

Логические и семантические парадоксы На исходе XIX столетия математический мир был потрясен открытием парадоксов, т.е. рассуждений, приводящих к противоречиям. В логических парадоксах используются только понятия теории множеств, поэтому они представляют собой серьезную угрозу основаниям математики. Логические парадоксы – логические рассуждения, совершенно справедливые с интуитивной точки зрения, но приводящие тем не менее к противоречиям (их называют также антиномиями).

Парадокс Рассела (1902). Классы объектов можно рассматривать как некоторые объекты. Например, класс всех стульев в этой комнате, классе всех людей, всех домов, натуральных чисел. Подобным же образом можно рассматривать классы классов и даже такие понятия, как класс всех классов. Собственные классы – это, например, класс людей, домов, чисел, которые не являются членами самих себя. Несобственные классы – это такие классы, которые, как класс всех классов или класс всех понятий, являются членами самих себя. Пусть R (расселовский класс) – класс всех собственных классов. Если R – собственный класс, то, так как R есть класс всех таких классов, R является членом R и, следовательно, R не является собственным классом. Если R – собственный класс, то, так как R есть класс всех таких классов, R является членом R и, следовательно, R не является собственным классом. С другой стороны, если R не есть собственный класс, то R – не член R и потому R – собственный класс. С другой стороны, если R не есть собственный класс, то R – не член R и потому R – собственный класс. Любое предположение ведет к противоречию

Семантические парадоксы Семантические парадоксы не содержат понятия о логике и математике, они содержат понятия, определения, которые не являются строго математическими, но принадлежат, скорее, лингвистике. (Семантика рассматривает вопросы соотношения между элементами языка и их смысловыми значениями). Парадокс лжеца Некто говорит: «Я лгу». Некто говорит: «Я лгу». Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и, следовательно, он не лжет. Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и, следовательно, он не лжет. Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и, следовательно, он лжет. В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно.

Новый этап в развитии логики начался тогда, когда некоторые логики и математики стали пользоваться символическими обозначениями для простых логических операций Математическая логика – часть логики, в которой для решения логических задач используется язык математических и логических знаков, наука о математических рассуждениях, пользующаяся математическими методами. Предметом математической логики является изучение структуры математических высказываний, исходных постулатов математики (аксиом и правил вывода), математических доказательств (выводов), истинности математических утверждений (теорем, лемм).

ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Под высказыванием мы будем понимать грамматически правильное повествовательное предложение, про которое можно сказать, что оно либо истинно, либо ложно. Примеры предложений: «Киев – столица Украины», (A) «Париж – столица России», (B) «Сегодня хорошая погода», (С) «Студенты отправились путешествовать по реке», (D) «Поздравляю с праздником!». Первые четыре предложения являются высказываниями, Первые четыре предложения являются высказываниями, первое высказывание является истинным всегда (абсолютно истинное высказывание), второе – всегда ложным (абсолютно ложное высказывание). пятое предложение – не является высказыванием.

Из простых высказываний можно строить сложные, используя связки: связкаоперацияобозначение «неверно, что…» отрицание ¬А¬А¬А¬А «…, и …» конъюнкция А В «…, или …» дизъюнкция А В «если…, то …» импликация(следование) А В «…, тогда и только тогда, когда …» эквивалентность А В

Логические связки – это логические операции, то есть операции, выполняемые над высказываниями и порождающие новые высказывания. «Неверно, что сегодня хорошая погода» ¬А¬А¬А¬А «Сегодня хорошая погода, и студенты отправились путешествовать по реке» С D «Киев – столица Украины, или Париж – столица России» А В «Если Киев – не столица Украины, то Париж – столица России» ¬ А В «Париж – столица России тогда и только тогда, когда, студенты отправятся путешествовать по реке», B~C

Заменив высказывания переменными, связки – знаками логических операций, получим формулу сложного высказывания. Формула логики высказываний выражает структуру высказывания. Пример. Составить формулу высказывания: «Если каждое слагаемое делится на три то и сумма делится на три» «Если завтра будет хорошая погода, то пойдем в кино» «Если Саши нет ни дома, ни в университете, то он на тренировке»

ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ (ПФ) Определение символы констант 0, 1 являются пропозициональными формулами (ПФ). каждая переменная есть ПФ. если А и В суть ПФ, то - также пропозициональные формулы. Такие ПФ будем называть ПФ в языке (или базисе):