ЦилиндрЦилиндр

Понятие цилиндра Рассмотрим две параллельные плоскости a и в и окружность с центром О радиуса r, расположенную в плоскости a. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости а. Отрезки этих прямых, заключенные между плоскостями а и в, образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки (АА1, ММ1 и др.) называются образующими цилиндрической поверхности.

Определение Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1, называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра. Прямая ОО1 называется осью цилиндра. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания - радиусом цилиндра.

Получение цилиндра Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания – вращением сторон ВС и АD.

Сечения цилиндра 1) Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. 2) Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом.

Сложные цилиндры На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. На первом рисунке изображён цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком. На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскости оснований (наклонный цилиндр).

Развертка цилиндра На рисунке изображен цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости а. В результате в пл.а получится прямоугольник ABBA. Стороны АВ и AB прямоугольника представляют собой два края разреза бок. поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание AA прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, высота АВ – образующей, поэтому AA = 2Пr, АВ=h, где r – радиус цилиндра, h – его высота.

Площадь боковой поверхности цилиндра За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развертки. Так как площадь прямоугольника АВВА равна: AA*AB = 2Пrh, то для вычисления площади Sбок боковой поверхности цилиндра радиуса r и высоты h получается формула: Sбок = 2Пrh.

Площадь полной поверхности цилиндра Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна Пr2, то для вычисления площади S цил полной поверхности цилиндра получаем формулу: S цил = 2Пr(r+h).

Объём цилиндра Объём цилиндра равен произведению площади основания и высоту. V=S*h

Цилиндры в практике Предметы, имеющие более или менее точную форму цилиндра, а также и такие, у которых есть детали цилиндрической формы, встречаются повсеместно: в быту, в строительстве, в технике – и играют важную роль. Оси автомобилей и вагонов, цилиндры и поршни двигателей и так далее – все они имеют главные части в виде круговых цилиндров. Стальные трубы представляют собой прямые цилиндры с тонким круговым кольцом в основании. Под цилиндрами понимают обычно круглые предметы, но если в виду цилиндры в нашем общем смысле, то можно привести множество других примеров. Рельсы, различные виды проката, бетонные желоба и другие изделия имеют разнообразные формы цилиндров (хотя и не круглых). В практике их характеризуют формой перпендикулярного сечения. Колонны, если они не сужаются кверху, столбы балки в строительных конструкциях имеют форму цилиндров, в частности, призм, прямых и наклонных. Например, мостовые фермы составляются сплошь из частей, имеющих форму призм.