ТЕТРАЭДР и ВНЕВПИСАННЫЕ СФЕРЫ ГЕОМЕТРИЯ Нахождение объема тетраэдра образованного центрами вневписанных сфер Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557 Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н. Автор работы: Руководитель работы:

С одержание 1. Постановка задачи 2. Определения и свойства 3. Алгоритм решения 4. Решение задачи 4.2. Вычисление объема исходного тетраэдра 2.1. Свойства ребер искомого тетраэдра 4.1. Формула объема искомого тетраэдра 6. Литература 5. Заключение 4.3. Нахождение объемов выступов исходного тетраэдра 4.4. Нахождение объемов выступов искомого тетраэдра 4.5. Вычисление объема искомого тетраэдра

На рисунке 1 изображен тетраэдр, назовем его исходный, отвечающий условию задачи. 1. Постановка задачи Рис. 1. Исходный тетраэдр ABCD с длинами сторон a, b, c, d, e, f. Вернуться к содержанию Задан произвольный тетраэдр с длинами сторон a, b, c, d, e, f. Найти объем тетраэдра вершины которого лежат в центрах вневписанных сфер первого рода заданного тетраэдра. Настоящая работа является продолжением предыдущей темы Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами вневписанных окружностей и выполняется с целью дальнейшего изучения геометрии, в частности, ее раздела – планиметрии.

2. Определения и свойства Вернуться к содержанию Свойство биссекторных плоскостей тетраэдра - биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла. Трехгранный угол (триэдр) - фигура в пространстве, составленная из трех плоских углов с общей вершиной, не лежащих в одной плоскости, каждые два из которых имеют общую сторону и нет стороны, общей для всех трех углов. Двугранные углы, образованные продолжением граней до полуплоскостей, называются двугранными углами трехгранного угла. Биссекторная плоскость двугранного угла есть геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от его граней. Свойство центров вневписанных сфер – центрами вневписанных сфер тетраэдра являются точки пересечения биссекторных плоскостей внутренних и внешних двугранных углов тетраэдра,

Рис. 2. Тетраэдр ABCD и его вневписанные сферы Вневписанная сфера тетраэдра – сфера, касающаяся плоскостей всех граней тетраэдра и находящаяся вне тетраэдра. (Рисунок 2. Красные и фиолетовые сферы). Вневписанная сфера первого рода - сфера, касающаяся грани тетраэдра и плоскостей, содержащих остальные грани. Тетраэдр имеет 4 вневписанные сферы первого рода (по количеству граней тетраэдра). На рисунке 2 – красные сферы. Тетраэдр может иметь от 0 до 3-х сфер второго рода. (Критерий наличия вневписанных сфер второго рода - сумма площадей никаких двух граней тетраэдра не равна сумме площадей двух других.). 2. Определения и свойства (продолжение) Вневписанная сфера второго рода – сфера, касающаяся плоскостей продолжений всех граней тетраэдра. На рисунке 2 – фиолетовые сферы. Вернуться к содержанию

Свойство 1. Отрезок прямой, соединяющий центры вневписанных сфер первого рода пересекает ребро исходного тетраэдра в точке его пересечения биссекторной плоскостью противоположного двугранного угла. На рисунке 3.1 изображен исходный тетраэдр ABCD (серые грани) и искомый тетраэдр О 1 О 2 О 3 О 4 (фиолетовые грани). Красные точки О 1, О 2, О 3, О 4 – центры вневписанных сфер первого рода. Зеленые точки K, L, M, N, P, T – точки пересечения биссекторов внутренних двугранных углов исходного тетраэдра и противоположных ребер. Рис Вернуться к содержанию 2.1. Свойства ребер искомого тетраэдра Биссекторная плоскость двугранного угла AD (рисунок 3.2.) пересекает противоположное ребро ВС в точке N. Ребро О 1 О 2 искомого тетраэдра пересекает ребро ВС исходного тетраэдра в этой же точке (N). Рис. 3.2.

3. Алгоритм решения задачи Вернуться к содержанию Объем многогранника (рисунок 4), включающий в себя элементы исходного и искомого тетраэдра, является суммой объемов общего шестигранника и 8-ми тетраэдров 4 из которых с вершинами в центрах вневписанных сфер (O 1, O 2, O 3, O 4, рисунок 5) и 4 в вершинах искомого тетраэдра (A, B, C. D, рисунок 6). Объем искомого тетраэдра равен объему исходного тетраэдра, минус сумма объемов тетраэдров, образованных вершинами исходного тетраэдра и точками пересечения его ребер, исходящих из этих вершин с ребрами искомого тетраэдра, плюс сумма объемов тетраэдров, образованных центрами вневписанных сфер и точками пересечения ребер, исходящих из этих центров, с ребрами исходного тетраэдра. Рис.4. Композиция тетраэдров Рис. 5. Декомпозиция исходного тетраэдра Рис. 6. Декомпозиция искомого тетраэдра Последовательность действий Выбранный нами способ решения предполагает последовательное вычисление объемов 9- ти тетраэдров 3-х типов и их алгебраическое суммирование.

1) Общая формула объема искомого тетраэдра (Vx): Рис. 7. Композиция объемов 4.1. Решение задачи. Формула объема искомого тетраэдра : : Где V - объем исходного тетраэдра; V A, V B, V C, V D - объемы тетраэдров (выступов) при вершинах исходного тетраэдра (рисунок 7); V oi - объемы тетраэдров (выступов) при вершинах искомого тетраэдра Вычисление объема исходного тетраэдра Вернуться к содержанию 2) Объем исходного тетраэдра (V) вычислим через длину его ребер по формуле Герона-Тарталья: Где: a, b, c, d, e, f – длины ребер тетраэдра ABCD (рисунок 8). Рис. 8. Исходный тетраэдр. (2)

4.3. Нахождение объемов выступов исходного тетраэдра 1) Выразим объемы исходного тетраэдра (V) и выступа KLMD (V D ) используя первую формулу Штаудта: Где: DK, DL, DM – ребра тетраэдра KLDM (рис. 9); d, e, f – длины ребер тетраэдра ABCD; (D)- синус Штаудта триэдра D 3) Используя свойство биссектора (делить противоположные им ребра на пропорциональные части) получим длины ребер выступа (тетраэдра KLMD): 2) Решим систему относительно V D : 4) Подставив 4, 5, 6 в 3, получим V D и, проведя аналогичные вычисления, V A, V B, V C : Вернуться к содержанию Рис. 9. Выступ исходного тетраэдра Для вычисления объема выступа исходного тетраэдра используем первую формулу Штаудта: Объем тетраэдра равен шестой части произведения длин трех ребер с общей вершиной и синуса Штаудта его триэдра с этой вершиной.

Где S 1, S 2, S 3, S 4 – площади граней 1, 2, 3, 4 (BCD, ABC, ADC и ABD, соответственно): Для грани 1(BCD): Для грани 2 (ABC): Для грани 3 (ACD): Для грани 4 (ABD): Вернуться к содержанию 4.3. Нахождение объемов выступов исходного тетраэдра (продолжение) Объемы выступов исходного тетраэдра : Рис Выступы исходного тетраэдра

Рис. 10. Выступы искомого тетраэжра Вернуться к содержанию 4.4. Нахождение объемов выступов искомого тетраэдра Где: V Oi - объем выступа искомого тетраэдра с вершиной в центре вневписанной сферы, касающейся грани i; S Oi - площадь треугольника, образованного точками персечения биссекторных плоскостей ребер грани i, S Oi (для: i=1 - LMN; i=2 - NPT; i=3 - KMT; i=4 - KLP); R i – радиус вневписанной сферы, касающейся сответствующей грани i. Объемы выступов искомого тетраэдра (V O1, V O2, V O3, V O4 – рисунок 10) можно найти, используя известную формулу вычисления объема тетраэдра через произведение площади основания и высоты:

Нахождение площади основания выступа ; Вернуться к содержанию 1) L, M, N (рисунок 11) - точки пересечения биссекторных плоскостей исходного тетраэдра с противоположными ребрами. Найдем длины сторон красного треугольника LMN - основания серого выступа, и его площадь, S O1. 2) Используем свойство биссектора делить противоположные им ребра на пропорциональные части, находим длины отрезков LM, LN, MN и CM, BL, BN: 3) Находим стороны треугольника LMN по теореме косинусов для треугольников: Где: a, b, c – длины сторон треугольника; – угол между сторонами a и b. 4) Решаем систему относительно LM 2 и, аналогично, находим квадраты сторон LN и MN. Рис. 11. Грань 1 исходного тетраэдра и прилегающие к ней грани 2, 3 и 4 5) Используем последовательность действий 1), 2), 3), 4) для нахождения сторон треугольников- оснований оставшихся граней исходного тетраэдра:

Вернуться к содержанию Нахождение площади основания выступа (продолжение) Для грани 1: Для грани 2: Для грани 3: Для грани 4:

Вернуться к содержанию Нахождение площади основания выступа (продолжение) Площадь треугольника в основании тетраэдра (S Oi ) вычислим по следующей формуле Герона: Где x, y, z – стороны треугольника. Для грани 1: Для грани 2: Для грани 3: Для грани 4:

Вернуться к содержанию Формула вычисления радиуса вневписанной сферы, касающейся грани i искомого тетраэдра: Где: V – объем исходного тетраэдра ABCD, вычисленный по формуле 2; S i – площадь грани i исходного тетраэдра; -сумма площадей всех граней исходного тетраэдра; Для грани 1: Где S 1 – площадь грани 1 исходного тетраэдра, вычисленная по формуле 12. Для грани 2: Где S 2 – площадь грани 2 исходного тетраэдра, вычисленная по формуле 13. Для грани 3: Где S 3 – площадь грани 3 исходного тетраэдра, вычисленная по формуле 14. Для грани 4: Где S 4 – площадь грани 4 исходного тетраэдра, вычисленная по формуле Нахождение радиуса вневписанной сферы

. Вернуться к содержанию Подставим полученные значения площадей и радиусов в выражение 16 и найдем сумму объемов выступов искомого тетраэдра: Где: S O1 – значение выражения 29, R 1 - значение выражения 33; S 02 – значение выражения 30, R 2 - значение выражения 34; S O3 – значение выражения 31, R 3 - значение выражения 35; S O4 – значение выражения 32, R 4 - значение выражения Вычисление объемов выступов искомого тетраэдра 4.5. Вычисление объема искомого тетраэдра Объем тетраэдра вершины которого лежат в центрах вневписанных сфер первого рода исходного тетраэдра с длинами сторон a, b, c, d, e, f мы найдем, подставляя в общую формулу (1) вычисленные нами значения: - выражения 2 (объем исходного тетраэдра, V); - выражений 7, 8, 9, 10 (сумма объемов выступов исходного тетраэдра V A, V B, V C, V D ); - выражения 37 (сумма объемов выступов, V 0i, искомого тетраэдра).

4.5. Вычисление объема искомого тетраэдра (продолжение) Используемый способ решения задачи и последовательность действий нахождения объема реализованы в виде программы-калькулятора на языке VBA. Исходные данные и результаты работы программы приведены на рисунке 12. Рис. 12. Скриншот работы программы Вернуться к содержанию

5. Заключение Вернуться к содержанию 1. В результате выполнения работы получены формулы вычисления объема тетраэдра, образованного центрами вневписанных сфер произвольного тетраэдра, заданного длинами его ребер. 2. Предложенный и реализованный способ решения можно использовать для нахождения объема сложного многогранника, элементами которого являются тетраэдры с заданными или вычисляемыми длинами ребер. 3. Алгоритм нахождения объема реализован в виде программы- калькулятора, входными данными для которой являются заданные длины ребер, а результатом – значения площадей граней исходного тетраэдра, его объем, радиусы вписанной и описанной сфер тетраэдра, радиусы вневписанных сфер первого и второго родов и, собственно, объем искомого тетраэдра. 4. Результаты работы можно использовать для построения вневписанных сфер и тетраэдров с вершинами в центрах вневписанных сфер первого рода, а также для моделирования их параметров.

1. Прокофьев А.А. Пособие по геометрии для подготовительных курсов (стереометрия). М.: МИЭТ, 2004; 2. Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 2. Стереометрия, преобразования пространства. М.: МЦНМО, 2006; 3. Сабитов И. Х. Объемы многогранников. М.: МЦНМО, Перевод с французского под редакцией Сабитова И.Х. М. Берже. Геометрия. Том первый. М.: Мир, Литература Вернуться к содержанию

Благодарим за внимание! Нахождение объема тетраэдра образованного центрами вневписанных сфер Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557 Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н. Автор работы: Руководитель работы: