ВНЕВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ГЕОМЕТРИЯ Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами вневписанных окружностей Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557 Руководитель работы: Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н.

С одержание 1. Условие задачиУсловие задачи 2. Алгоритм решения задачиАлгоритм решения задачи 3. Определение вневписанной окружностиОпределение вневписанной окружности 4. Свойства элементов треугольника иСвойства элементов треугольника и вневписанных к нему окружностей 4.3. Длина радиуса вневписанной окружностиДлина радиуса вневписанной окружности 4.1. Свойство вершин треугольникаСвойство вершин треугольника 4.2. Длина отрезков, составляющих сторону треугольникаДлина отрезков, составляющих сторону треугольника разделенную точкой касания окружности 5. Решение задачиРешение задачи 6. Проверка решенияПроверка решения 7. ЗаключениеЗаключение

Дан треугольник ABC со сторонами a, b, c и вневписанные к нему окружности с центрами O 1, O 2, O 3 (рисунок 1). Выразить стороны треугольника O 1 O 2 O 3 через a, b, c и найти его площадь. 1. Условие задачи Рис. 1. Вневписанные окружности к треугольнику ABC и треугольник O 1 O 2 O 3. Вернуться к содержанию

Рис. 2. Вневписанные окружности к треугольнику 2. Определение вневписанной окружности Вернуться к содержанию Вневписанная окружность – - окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон. Таких окружностей в треугольнике три. На рисунке 2 изображен треугольник ABC c тремя вневписанными к нему окружностями с центрами O 1, O 2 и O 3. Точки K 1, E 1, D 1 ; K 2, E 2, D 2 ; K 3, E 3, D 3 - – точки касания соответствующих окружностей со сторонами и продолжениями сторон треугольника ABC.

3. Алгоритм решения задачи 2). Стороны O 1 O 2 O 3 вычисляем как суммы отрезков: О 1 В и О 2 В; О 2 С и О 3 С; О 3 А и О 1 А (Предварительно доказав, что вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружностей ). 3). Отрезки О 1 В, О 2 В, … найдем по теореме Пифагора, зная радиусы окружностей и длины отрезков, образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности (например, r 1, AK 1 и K 1 B). 4). Радиусы окружностей и отрезки прямых (AK 1, K 1 B, …) вычислим через длины сторон: а; b; c. Вычисления длин радиусов и отрезков оформим как отдельные самостоятельные модули Рис. 2. Рисунок к алгоритму решения 1). Площадь O 1 O 2 O 3 находим через его стороны. Вернуться к содержанию

4. Свойства элементов треугольника и вневписанных к нему окружностей 4.1. Свойство вершин треугольника Для доказательства теоремы используем метод от противного, т.е. выскажем суждение: Вершины треугольника НЕ лежат на прямых, соединяющих центры и проверим это суждение на истинность. Суждение подразумевает, что все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, образуют между собой, внутри пары, углы НЕ равные Рис. 3. Угол между отрезками, соединяющими вершину B с центрами окружностей O 1 и O 2 Все вершины треугольника лежат на прямых, соединяющих центры вневписанных к нему окружностей.

1) Выделим фрагмент рисунка 1 и обозначим угол ABC равным (рисунок 4): 2) проведем касательные к O 1 и О 2. Соединим центры окружностей с их точками касания отрезками O 1 K 1, O 1 D 1 и O 2 K 2, O 2 D 2. 3) O 1 K 1 B= O 1 D 1 B= O 2 K 2 B= O 2 D 2 B=90 0 ; O 1 D 1 = O 1 K 1 = r 1 ; O 2 D 2 = O 2 K 2 = r 2 где: r 1 – радиус окружности O 1 ; r 2 – радиус окружности O 2. (свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания) 4) Соединим вершину B, с центрами O 1 и O 2 отрезками BO 1 и BO 2 В результате построений мы получили искомый угол O 1 BO 2. 5) Вычислим значение угла. O 1 BO 2 =a + O 1 BD 1 + O 2 BD 2 ;(1) K 1 BD 1 = a. O 1 BK 1 = O 1 BD 1 (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе), следовательно: O 1 BD 1 = O 1 BK 1 = ( K 1 BD 1 ) / 2= a/2. (3) Аналогично вычисляем O 2 BD 2 = a / 2. (4) Подставляя значения (3), (4) в (1), получим: O 1 BO 2 = Рис.4. Построения к доказательству теоремы 4.1. Свойство вершин треугольника (продолжение)

Аналогичные рассуждения и вычисления справедливы для остальных углов между парами отрезков, соединяющих вершины треугольника (рисунок 1) с центрами окружностей, т.е. O 1 BO 2 =180 0 ; O 2 CO 3 =180 0 ; O 3 AO 1 = Или: все три пары отрезков прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами трех вневписанных в него окружностей, образуют между собой, внутри пары, углы равные Проверка высказанного суждения на истинность Вычисление значений углов между отрезками, соединяющими вершины треугольника с центрами вневписанных в него окружностей, показало, что они равны Этот факт противоречит основе высказанного нами суждения, следовательно, само высказанное нами суждение: Вершины треугольника не лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей, является ложным. Использованный метод доказательства от противного, позволяет нам утверждать, что: Вершины треугольника лежат на прямых линиях соединяющих центры вневписанных в него окружностей, что и требовалось доказать Свойство вершин треугольника (продолжение) Вернуться

4.2. Д лины отрезков, образованных вершинами треугольника принадлежащими одной стороне и точкой касания вневписанной к этой стороне окружности Вернуться 1) Выделим фрагмент рисунка 1 (Условие задачи), проведем касательные к окружности O 1. Соединим O 1 с точками касания отрезками O 1 Е, O 1 К и O 1 D.Условие задачи 2) O 1 ЕА= O 1 КА= O 1 DB=90 0 ; O 1 Е = O 1 K = O 1 D = r 1. где: r 1 – радиус окружности O 1. (свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания) 3) O 1 ЕС= O 1 DC; O 1 ЕА= O 1 КА; O 1 КВ= O 1 DВ (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе), 4) ЕА=АК и DВ=ВК, тогда: 5) Решаем систему уравнений: Рисунок 5. Длина отрезка между вершиной треугольника и точкой касания вписанной к стороне окружности равна разности между половиной суммы сторон, образующих эту вершину и половиной длины противоположной стороны треугольника

4.3. Длина радиуса вневписанной окружности Вернуться 1) Выделим фрагмент рисунка 1 и проведем касательные к окружности O 1. 2) Соединим центр окружности с точками касания отрезками O 1 Е, O 1 К и O 1 D. 3) O 1 ЕА= O 1 КА= O 1 DB=90 0 ; O 1 Е=O 1 K=O 1 D=r 1, где: r 1 – радиус окружности O 1. (свойства отрезка прямой, соединяющего центр окружности с точкой касания) 4) Соединим вершину С треугольника ABC с центром O 1 отрезком СO 1 5) O 1 ЕС= O 1 DC; O 1 ЕА= O 1 КА; O 1 КВ= O 1 DВ (признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе). 6) Уравнение площадей треугольников: где p=(a+b+c)/2 7) Подставляя (2), (3) и (4) в (1), решаем относительно r 1 : Аналогично вычисляем r 2, r 3,: Рисунок 6 (1) (2) (3) (4)

5. Решение задачи. Нахождение сторон O 1 О 2 О 3 1) Соединим центр вневписанной к стороне АВ треугольника АВС окружности О 1 с вершинами А и В. Проведем радиус r 1 к точке касания (К) окружности со стороной АВ. Получили отрезки О 1 А и О 1 В, являющиеся гипотенузами прямоугольных треугольников O 1 AК и O 1 КB. 2) Теорема Пифагора для O 1 AК и O 1 КB: Где: (из Формулы 2(из Формулы 2) 3) Решим (1), относительно отрезков O 1 A и O 1 B: Аналогично вычисляем длины остальных отрезков (О 2 В, О 2 С, О 3 С и О 3 А): ; (из Формулы 1(из Формулы 1)

5. Решение задачи. Нахождение сторон и полупериметра Находим стороны треугольника O 1 O 2 O 3, предварительно доказав, что все вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружгностей:что все вершины АВС лежат на прямых, соединяющих центры окружгностей Находим полупериметр (P) треугольника O 1 O 2 O 3 : Подставляя в формулу полупериметра O 1 O 2 O 3, значения сторон, получаем: Рисунок 8.

5. Решение задачи. Нахождение площади O 1 О 2 О 3. Вариант 1. Найдем площадь O 1 O 2 O 3 через его стороны и полупериметр (Р) Подставляя значения сторон O 1 O 2 O 3, получим: Рисунок 9. Результаты решения задачи Стороны O 1 O 2 O 3, выраженные через стороны а, в, с АВС: Площадь O 1 O 2 O 3 : Где :

5. Решение задачи. Нахождение площади O 1 О 2 О 3. Вариант 2. Рисунок 10. Вернуться к содержанию Площадь O 1 O 2 O 3 состоит из четырех частей (рис. 10): площади треугольника АВС, и примыкающих к нему трех треугольников Площадь треугольника АВС вычислим по формуле: Где р- полупериметр треугольника АВС ; r – радиус вписанной окружности. Площадь (S 1 ) треугольника AO 1 B: Аналогичные выражения получим для S 2 и S 3 Сложим полученные равенства: Используя теорему Штейнера, r 1 +r 2 +r 3 - r = 4R, получаем: Воспользуемся формулой вычисления радиуса описанной окружности (R) через стороны треугольника: Или:

6. Проверка решения Сравним результаты вычисления сторон и площади треугольника по полученным формулам с фактическими, измеренными с точностью до ±1 мм, значениями. Построим треугольник с длиной сторон: a=27 мм; b=41 мм; c=31 мм. Построим вневписанные окружности, соединим центры отрезками O 1 O 2, O 2 O 3, O 1 O 3 и измерим их:O 1 O 2 =59 мм; O 2 O 3,=74 мм; O 1 O 3 =76 мм. Проведем высоту (H ) O 1 O 2 O 3 к основанию O 1 O 2, измерим ее: H=69,2 мм. За фактические значения полупериметров O 1 O 2 O 3 и ABC (P и p, соответственно) примем сумму измеренных значений их сторон деленную на 2;. За фактическое значение площади O 1 O 2 O 3 примем где: H – высота треугольника O 1 O 2 O 3 к основанию O 1 O 2. Фактические (измеренные) и вычисленные результаты представлены в таблице: Параметр Фактическое значение округленное до целых значений Вычисленное значение округленное до целых значений Разница, в процентах от фактического значения, Сторона O 1 O 2 (мм) % Сторона O 2 O 3, (мм) % Сторона O 1 O 3 (мм) % Площадь (мм 2 ) % Разница в результатах проверки несущественна (объясняется недостаточной точностью построения треугольников и вневписанных окружностей, измерений сторон треугольников и их высот с использованием линейки и циркуля, а также ошибками округления). Вернуться к содержанию

7. Заключение Вернуться к содержанию 1) В результате выполнения работы получены формулы вычисления длин сторон и площади треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей в треугольник с заданными длинами сторон. 2) При оформлении результатов работы некоторые последовательности действий и доказательств оформлены как отдельные разделы, или как готовые решения, имеющие самостоятельные значения: Теорема свойства вершин; Вычисление радиусов окружностей; Вычисления длин отрезков, составляющих сторону треугольника. 3) Для проверки правильности полученных формул проведено сравнение результатов вычислений по полученным формулам с фактическими данными, полученными в результате измерений. 4) Проверка формул проводилась с помощью разработанной программы на Microsofr Exel, с ее помощью можно найти стороны и площадь треугольника, радиусы вневписанных окружностей, вводя любые заданные длины сторон (а, b, c) порождающего треугольника.

Нахождение площади и сторон треугольника образованного центрами вневписанных окружностей Благодарим за внимание! Автор работы: Бойко Павел, ученик 10-б класса, ГБОУ Лицей 1557 Руководитель работы: Прокофьев Александр Александрович, учитель ГБОУ Лицей 1557, кфмн, д.пед.н.