Урок геометрии по теореме Пифагора Трофимова Людмила Викторовна учитель математики Сиверская гимназия 1

Решение задач по готовым чертежам

Задача индийского математика XII века Бхаскары «На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, Что в этом месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».

Задача из китайской «Математики в девяти книгах» «Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».

Задача о лотосе Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: Как озера вода здесь глубока?

Доказательство методом вычитания Познакомимся с доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие: 1) треугольники 1, 2, 3, 4; 2) прямоугольник 5; 3) прямоугольник 6 и квадрат 8; 4) прямоугольник 7 и квадрат 9. Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Этими частями будут: 1) прямоугольники 6 и 7; 2) прямоугольник 5; 3) прямоугольник 1 (заштрихован); 4) прямоугольник 2 (заштрихован). Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур. Из рисунка ясно, что: 1) прямоугольник 5 равновелик самому себе; 2) четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7; 3) прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован); 4) прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелик прямоугольнику 2 (заштрихован)

Доказательство Вальдхейма Пусть дан треугольник АВС с прямым углом С, гипотенузой с и катетами a и b, такими, что b>a. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой СD и, кроме того, BD=b, BDM =90º, DM = a, тогда треугольники BMD и ABC равны по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезком АМ. Прямая АС параллельна прямой МD. Так как МD < AC, то прямые CD и AM не параллельны. Следовательно, AMDC – прямоугольная трапеция. В прямоугольных треугольниках ABC и BMD = 90º и = 90º, но так как 1 = 3, то = 90º; тогда ABM = 180º – 90º = 90º. Оказалось, что трапеция AMDC разбита на три прямоугольных треугольника, тогда по свойствам площадей имеем: S ABC + S ABM + S BMD = S АСDМ, или ½ ab + ½ c² + ½ ab = ½ (a+b)(a+b). Умножив обе части равенства на 2, получим ab + c² + ab = (a + b)(а + b), 2ab + c² = a² + 2ab + b², откуда a² + b² = c².

Шаржи