Пример 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, На отрезке расположен на осью график фукции Закрашенная фигура криволинейная трапеция Ответ:

Пример 2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,, и осью На отрезке график функции расположен над осью, поэтому: Ответ:

Пример 3 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, и координатными осями. Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью, то её площадь можно найти по формуле: В данном случае: Ответ: и

Пример 4 Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями, Решение: Сначала нужно выполнить чертеж, при построении чертежа в задачах на площадь нас интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой Аналитически. Решаем уравнение: Значит, нижний предел интегрирования, верхний предел интегрирования. : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции, то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле: на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу. На отрезке, по соответствующей формуле: Ответ:

Пример 5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, Сначала выполним чертеж:,, Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). 1) На отрезке над осью расположен график прямой 2) На отрезке над осью расположен график гиперболы. Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому: Ответ:

Пример 6 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и выполним поточечный чертеж: и Уравнения преобразуем к видуи Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:. Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что. Или корень. А если мы вообще неправильно построили график? В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически. Найдем точки пересечения прямой и параболы Для этого решаем уравнение: Действительно, На отрезке, по соответствующей формуле: :

Пример 7 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже. и С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение: На отрезке график функции расположен над осью, поэтому: Используем основное тригонометрическое тождество в виде ) Проведем замену переменной, тогда: Новые переделы интегрирования: Здесь мы использовали свойство определенного интеграла расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке Ответ:

Пример 8 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями,. Пример 9 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, На отрезке, по соответствующей формуле: Ответ: На отрезке, по соответствующей формуле: Ответ:

Пример 10 Выч ислить площадь фигуры, ограниченной линиями,, На отрезке графикфункции расположен над осью, поэтому: Ответ: