Определение. Уравнение с одной переменной f(x) =g (x) называют иррациональным, если хотя бы одна из функций f(x) или g (x) содержит переменную под знаком радикала.

Уравнения (1) и (2) содержат переменную под знаком корня, в уравнении (4) переменная входит в основание степени с дробным показателем. Такие уравнения называют иррациональными уравнениями.

Решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими. При решении иррациональных уравнений стремятся к тому, чтобы это уравнение заменить равносильным ему рациональным уравнением или равносильной ему системой, состоящей из рационального уравнения и рациональных неравенств.

Рассмотрим уравнение где f(x)- рациональное выражение, а- некоторое число n=2k и а < 0 n=2k и а 0 не имеет корней равносильно f(x) = а n Это следует из определения арифметического корня. При нечетном п и любом а равносильно уравнению f(x) = a n. Это вытекает из определения корня нечетной степени. n=2k+1 и а -любое равносильно f(x) = а n Это вытекает из определения корня нечетной степени.

Пример 1. n=4- четное, a=3>0 x 2 +9x+29=81 Возведем обе части уравнения в 4 степень. Получим равносильное уравнение: x 1 = -13, х 2 = 4 Ответ: -13, 4.

Пример2. n=3- нечетное 2x 2 -x-7=8 Возведем обе части уравнения в 3 степень. Получим равносильное уравнение: x 1 = -2,5, х 2 = 3 Ответ: -2,5; 3.

899(а, г) n=4- четное, a=2>0 x 2 -9=16 Возведем обе части уравнения в 4 степень. Получим равносильное уравнение: x 1 = -5, х 2 = 5 Ответ: -5; 5. n=3- нечетное Возведем обе части уравнения в 3 степень. Получим равносильное уравнение: 6x+1=-125 x=-21 Ответ: -21.

Рассмотрим уравнение где f(x) и g(x)- рациональные выражения n=2k g (x) 0 f (x) =g n (x) Равносиль но системе n=2k+1, n >1 Равносильно уравнению f (x) =g n (x)

Пример 1. n=2- четное, 4-x 0 2x-3 =(4-x) 2 Равносильно системе: 2x-3 =(4-x) 2 ; 2x-3=14-8x+x 2 ; x 2 -10x+19=0 x 1 =5-6 x 2 =5+6 x=5-6 x 4 x=5+6 x 4 или Истинно Ложно Ответ: 5-6.

Пример 2 n=3- нечетное, Равносильно уравнению: x 3 -3x 2 -8x-10=0 Ответ: 5. 3x 2 +8x+10 =x 3 Найдем делители свободного члена: ±1; ±2; ±5; ±10 Путем подстановки убеждаемся, что x=5 – корень уравнения, Значит (x 3 -3x 2 -8x-10) делится на(x-5). Выполним деление уголком: (x 3 -3x 2 -8x-10)= (x-5) (x 2 +2x+5) (x-5) (x 2 +2x+5)=0

Метод «пристального взгляда» Этот метод основан на следующем теоретическом положении: Если функция возрастает в области определения и число a входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется: а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении. b) Записать область определения данной функции. c) Доказать ее монотонность в области определения. d) Угадать корень уравнения. t) Обосновать, что других корней нет. f) Записать ответ.

Пример 1. Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значений переменной. x x 0 x 5 x 4 Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного. 4 5

Пример2. 2x+8 0 x+5 0 x -4 x -5 Данная функция является монотонно возрастающей. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Найдем подбором корень уравнения: x= Значит,4 – корень уравнения. Ответ: Найдем область допустимых значений переменной. x -4

904 д. 13-2x 0 5x+1 0 x 6,5 x -0,2 Данная функция является монотонно возрастающей. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Найдем подбором корень уравнения: x=3 -0,2 3 6,5 Значит,3 – корень уравнения. Ответ: 3 -0,26,5 Найдем область допустимых значений переменной. -0,2 x 6,5

Метод замены переменной Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример 1. Пусть Тогда u 3 =x+6 и v 2 =11-x (v 0) Имеем из систему трех уравнений: v 2 =11-x u + v=5 u 3 =x+6 Сложим первое уравнение и второе: u 3 + v 2 =17 Решим систему: u+ v =5 u 3 + v 2 =17 u 3 + u 2 -10u+8=0 u 1 =1, u 2 =2,u 3 =-4 v 1 =4, v 2 =3,v 3 =9 Каждое значение v, удовлетворяет условию v 0 Подставив каждое значение u в уравнение u 3 =x+6, получаем корни данного уравнения: x 1 =-5, x 2 =2,x 3 =-70 Ответ: -70;-5;2

904 ж Пусть Тогда u 4 =x-2 (u 0) и v 2 =7-x (v 0) Имеем систему из трех уравнений: v 2 =7-x u + v=3 u 4 =x-2 Сложим первое уравнение и второе: Решим систему: u+ v =3 u 4 + u 2 -5=0 u 4 + v 2 -5=0 u =1, v=2 Подставив значение u в уравнение u 4 =x-2, получаем корни данного уравнения: x=3 Ответ: 3

u 4 + v 2 -5=0 v=3-u u u+u 2 -5=0 u 4 +u 2 -6u+4=0 u =1 – корень уравнения u 4 +u 2 -6u+4= (u -1) (u 3 +u 2 +2u-4) (u -1) (u 3 +u 2 +2u-4)= (u -1) (u -1)(u 2 +2u+4) u =1 0 v =2 0