§ 16. Формула Тейлора и Маклорена Опр. 11. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n где a 0, a 1, …, a n – числа – коэффициенты многочлена, n N. Многочлен полностью определяется своими коэффициентами. Опр. 11*. Многочленом (полиномом) по степеням ( x – x 0 ) называется выражение P n ( x ) = a 0 + a 1. ( x – x 0 ) + a 2. ( x – x 0 ) 2 + … + a n. ( x – x 0 ) n (16.1) Опр. 12. Выражение (16.2) называется формулой Тейлора для многочлена P n (x) (16.2)

Теорема 16.1 Пусть функция f ( x ) определена на интервале (a, b), имеет в точке x (a, b) производные до n - го порядка включительно. Тогда при x x 0 функция f(x) будет сходится к своему многочлену Тейлора и можно записать (16.3) Выражение (16.3) называется многочленом Тейлора для функции f ( x ) Теорема 16.2 Разность между функцией f ( x ) и ее многочленом Тейлора P ( x ) является б.м. величиной высшего порядка малости чем ( x – x 0 ) n f (x) – P (x) = R n (x) = o ( (x – x 0 ) n ) R n (x) - остаточный член остаточный член в форме Пеано R n (x) = o ( (x – x 0 ) n ) Остаточный член в форме Лагранжа где x 0 <

x y x0x0 x y=f(x) f(x) P(x) R n (x) f(x)=P(x)+R n (x) Теорема. (достаточное условие сходимости f(x) к полиному P(x) ) f(x)P(x) в окрестности x 0, если | f (n+1) ( )| < M, т.е. (16.6)

sinx y x P1(x)P1(x) P2(x)P2(x) P3(x)P3(x) P4(x)P4(x) 0 π -π-π Пусть f(x) = sin x, x 0 = 0

Стандартные разложения по формуле Маклорена Уметь получать разложения Формула Маклорена – частный случай формулы Тейлора при x 0 = 0

Стандартные разложения Маклорена Таблица эквивалентов