Комбинаторика 1

Комбинаторика Комбинаторика – раздел математики, посвященный подсчету количеств разных комбинаций элементов некоторого, обычно конечного, множества Задачи: 1) Сколькими способами 6 разных папок с документами можно расставить на полке? 2) При расследовании хищения установлено, что у преступника шестизначный номер телефона, в котором все цифры различны и нет нулей. Следователь, полагая, что перебор этих номеров достаточно будет одного - двух часов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он? 3) На иномарке, скрывшейся с места ДТП, был трехзначный номер, в котором первая цифра 2. Сколько номеров необходимо проверить по картотеке ГИБДД, чтобы найти нарушителя? 2

Принципы комбинаторики Принцип сложения Основные принципы комбинаторики: Принцип сложения. Принцип умножения. Принцип сложения Задача 1: В группе 7 девушек и 8 юношей. Сколькими способами можно выбрать 1 человека для работы у доски? Решение: 7+8=15 Задача 2: В группе 7 человек имеют «5» по математике, 9 человек – «5» по философии. В сессии 2 экзамена. Известно, что 4 человека сдали сессию отлично. Сколько человек имеют хотя бы одну пятерку в сессии? Решение: 7+9-4=12 3

Принцип сложения Принцип сложения: Если объект a можно получить n способами, объект b – m способами, то объект «a или b» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов. Теоретико-множественная формулировка 4

Принцип умножения Задача: На вершину горы ведут 5 дорог. Сколькими способами можно подняться на гору и спуститься с нее? Решение: 55=25. Принцип умножения: если объект a можно получить n способами, объект b – m способами, то объект «a и b» можно получить mn способами. Теоретико-множественная формулировка 5

Задачи Из 3 экземпляров учебника алгебры, 5 экземпляров учебника геометрии и 7 экземпляров учебника истории нужно выбрать по одному экземпляру каждого учебника. Сколькими способами это можно сделать? Решение. По принципу умножения 6

Задачи От дома до школы существует 6 маршрутов. Сколькими способами можно дойти до школы и вернуться, если дорога «туда» и «обратно» идет по разных маршрутам? Решение. По принципу умножения 7

Задачи В корзине лежат 7 различных яблок и 5 апельсинов. Яша выбирает из нее яблоко или апельсин, после чего Полина берет яблоко и апельсин. В каком случае Полина имеет большую свободу выбора: если Яша взял яблоко или если он взял апельсин? Решение. Если Яша взял яблоко, то по принципу умножения Полина может осуществить свой выбор способами. Если Яша взял апельсин, то - способами. В первом случае у Полины свобода выбора большая. 8

Замечание Например, Считают, что 0!=1 читается «n факториал» и вычисляется по формуле 9

Определение 1 Перестановкой n элементного множества называется упорядоченный набор неповторяющихся элементов этого множества длины n. Пример: перестановки: Число размещений n – элементного множества обозначают P n и вычисляется по формуле: Задача: В команде 6 человек. Сколькими способами можно осуществить построение? Перестановки без повторений 10

Перестановки с повторениями Определение 2 Число перестановок n – элементов, в котором элементов i –того типа ( ) вычисляется по формуле Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»? Решение: 11

Размещение без повторений Определение 3 k -размещением без повторений элементов множества А называется упорядоченный набор длины k попарно различных элементов множества А. Пример: - 2 размещения: Число k- размещений n элементного множества обозначается и вычисляется по формуле: Задача: В соревновании участвуют 12 команд, сколькими способами они могут занять призовые места? 12

Размещения с повторениями Определение 4 k – размещением с повторениями n–элементного множества называется упорядоченный набор длины k элементов данного множества. Пример 2- размещения с повторениями: Число k – размещений с повторениями вычисляется по формуле: Задача: Сколько существует номеров машин? 13

Сочетания Определение 1 k-сочетанием множества А называется неупорядоченный набор попарно различных элементов множества А длины k. Другими словами k-сочетание – это k-элементное подмножество множества А Пример:. 2- сочетания: Число k- сочетаний n-элементного множества обозначается и вычисляется по формуле 14

Свойства сочетаний 1) Доказательство: 2) Доказательство: 15

Свойства сочетаний 3) Бином Ньютона: Следствия из бинома Ньютона: получается из бинома Ньютона при Равенство 16

Треугольник Паскаля

Сочетание с повторениями Определение 2 k-сочетанием с повторениями n элементного множества, называется неупорядоченный набор элементов данного множества длины k. Пример: А= 2 сочетания с повторениями: Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества обозначается: 18

Сочетания с повторениями Теорема 3 Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества вычисляется по формуле: Доказательство: Лемма. Число наборов из m нулей и n единиц равно Закодируем k - сочетания с повторениями наборами из 0 и 1, отделяя нулями группы элементов одного типа. Количество 1 равно k, а количество нулей (n-1). Число таких кодов равно 19

20 УпорядоченныйНеупорядоченный С повторениями Без повторений Сводная таблица

Решение задач 21

Задачи 1)Сколькими способами можно составить список из 8 студентов, если у них различные инициалы? Решение Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО. 22

Задачи 2)Сколькими способами можно составить список 8 студентов, так, чтобы два указанных студента располагались рядом? Решение Можно считать двоих указанных студентов за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е. Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2! 23

Задачи 3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно? Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. 24

Задачи 4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7? Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4 25

Задачи 5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны? Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е возможны 9 вариантов цифры. В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3 По правилу умножения получим 26

Задачи 6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10? Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10 27

Задачи 7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома? Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу) 28

Задачи 8)Сколько чисел, меньше можно написать с помощью цифр 2,7,0? Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями 29

30 Задачи 1) В почтовом отделении продают 10 сортов открыток. Сколькими способами можно купить в нем 8 различных открыток? Сколькими способами можно купить 8 открыток? 2) Сколькими способами можно раздать 5 одинаковых апельсинов, 3 банана, 7 яблок между 4 людьми?

31 Задачи 3) Сколькими способами можно закодировать дверь? 4) Сколько существует трехзначных чисел? 5) Абонент забыл последние 3 цифры телефонного номера. Помня, что эти цифры различны, он набирает номер наугад. Сколько номеров ему нужно перебрать, если он невезучий человек?

Задачи 6) В компьютерном салоне продают мониторы 5 марок. Сколькими способами организация может купить в нем 3 монитора различных марок? Сколькими способами можно купить 3 монитора? Решение. Ответ на первый вопрос получим с помощью формулы числа сочетаний без повторений, так как мониторы различные На второй вопрос ответим, используя формулу числа сочетаний с повторениями, так как не сказано, что мониторы различных марок, значит марки могут повторяться

Задачи 7)В группе 8 юношей и 9 девушек. Сколькими способами можно выбрать группу студентов, состоящей из 4 юношей и 3 девушек? Решение. Четырех юношей выберем из 8, троих девушек – из 9. По правилу умножения получим

Задачи 8)Используя бином Ньютона, раскрыть скобки. Решение.

Задачи 9)Сколькими способами можно раздать 7 одинаковых апельсинов между тремя детьми? Решение. Так как апельсины одинаковые, их вообще нельзя использовать в качестве 7 различных элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из троих детей. Будем выбирать детей для апельсинов. Используем формулу числа сочетаний с повторениями, так как одному ребенку может достаться несколько апельсинов, а может не достаться ни одного.

Задачи 10) Сколькими способами можно распределить 5 одинаковых принтеров, 3 телефонных аппарата, 7 мониторов между 4 фирмами? Решение. Распределим сначала принтеры, затем телефонные аппараты, и, наконец, мониторы. Используя правило умножения, получим