Неопределенный интеграл.

§1 Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла. Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке называется такая функция F(x), произведение которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx на этом промежутке.

Определение: Если на некотором промежутке выполняется равенство F(x)=f(x), то функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на этом промежутке. 1 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx т.к. (Sinx)=Cosx 2 для функции f(x)=Cosx F(x)=Sinx+1000 т.к. (Sinx+1000)=Cosx 3 для функции f(x)= F(x)=Arctgx т.к. (tgx)=

Теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке, отличаются друг от друга на этом промежутке на постоянное слагаемое. Доказательство: - некоторая функция и - первообразные т.е.

Следствие: Прибавляя к какой-нибудь первообразной F(x) для данной функции f(x), определенной на [a;b], все возможные const C, мы получим все первообразные для функции f(x). Определение: Выражение F(x)+C является общим выражением для всех первообразных заданной непрерывной функции f(x).

Определение: Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) (или от дифференциального выражения f(x)dx) и обозначается символом,где

Определение: Функция f(x) называется подынтегральной функцией. f(x)dx называется подынтегральным выражением. Правило: Найти неопределенный интеграл значит найти такую функцию, F(x) производная, которой была бы равна f(x) и к ответу прибавить const C. Ищем такую функцию F(x), дифференциал которой совпадет с подынтегральным выражением.

§2 Свойства неопределенного интеграла

Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Пусть x - независимая переменная, y=f(x) - некоторая непрерывная функция на данном промежутке и F(x) ее первообразная. - непрерывно дифференцируемая функция(и и непрерывны).

Рассмотрим Следовательно функция является первообразной для подынтегральной функции. Доказательство: В силу независим ости дифференциал а 1-го порядка

§3 Общая таблица простейших интегралов.

Полезные свойства, применяемые при вычислении интегралов.

§4 Метод интегрирования. п.1 Метод разложения. Метод основан на свойствах неопределенного интеграла.

п.2 Метод подстановки, метод выделения новой переменной. Пусть функция непрерывна на промежутке, а функция непрерывна на причем Тогда, учитывая, что неопределенный интеграл записывается в виде:

п.3 Метод интеграла по частям. - дифференциалы на некотором промежутке функции. Тогда Проинтегрировали обе части равенства по переменной х. Это можно сделать, т.к. функции и зависят от х.

- формула интегрирования по частям.

§5 Классы интегрируемых функций. п.1 Функции интегрируемые по частям. По частям находят три вида интегралов. а) интеграл вида: - многочлен n-ой степени причем формула интегрирования по частям применяется столько раз, какова степень многочлена. В этом случае за функцию u берется многочлен, а за dv берем все остальное.

б) Интеграл находят по частям причем за u берут обратную функцию Функцию интегрируем столько раз, какова степень обратной функции.

в) Смешанный тип: Такого рода интеграла формула интегрирования по частям применяется дважды, в результате получаем уравнение относительно искомого интеграла u решение уравнения, находим ответ.

п.2 Интегрирование рациональных дробей. Определение: Дробь вида, где и n=m многочлен соответствующая степень n и m наз. рациональной дробью. Определение: Если n m, дробь называется неправильной. Если n m дробь называется правильной. При интегрирование рациональных дробей, если дробь неправильная выделяют целую часть дроби и правильную дробь.

Интегралы от правильных дробей.

п.3 Дроби раскладываемые на сумму дробей. Для разложения дробей на простейшие применим метод неопределенного коэффициента. В общем случае дроби на простейшие получается по формуле:

Приводя дроби правой части равенства к общему знаменателю получаем разные дроби с одинаковыми знаменателями, следовательно можно приравнять друг к другу числители – многочлены. Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х. При одинаковых степенях х получим систему m+1 уравнение с m+1 неизвестными, которая всегда совместна и имеет единое решение. Решить систему, найдем значения коэф. стоящих в числителе в правой части разложения – в этом заключается метод неопределенного коэффициента.

1! Метод применяется для правильных дробей. Если дробь неправильная, то в дроби выделяется сначала целая часть. 2! Если многочлены равны, то равны значения многочленов при одних и тех же значения х. Приравнивая х (удачному) значению получим более простую систему уравнений для определения коэф. разложения.

п.4 Интегрирование простейших иррациональностей. а) Если подынтегральная функция содержит, то производят замену, выражая находят тем самым приводят заданный интеграл к интегралу от рациональной дроби. б) Интеграл вида находят выделением под корнем полного квадрата, и если, то данный интеграл является табличным – 14, а если, то табличный интеграл вида

в) Если подынтегральная функция являлось рациональной функцией от, то делают замену вычислить и в общем случае интеграл приводить к интегралу от рациональной дроби.

п.5 Интегрирование тригонометрических функций. а) Если одно из чисел m или n четное, а другое не четное, то если m четное, то делаем замену, а выражаем через Если n четное, то замена Если m и n четные, то применяют формулы степени, а именно

Если m и n нечетные и n=m, то используют формулу двойного угла: Интеграл вида: Находят, применяя формулы выражения произв е д е н ия тригонометрических функций к сумме.

§6 Теорема Коши. Понятие о «неберущихся» интегралов. Теорема: Всякая непрерывная функция имеет первообразную (от всякой непрерывной функции существует неопределенный интеграл). Например: по теореме Коши, т.к. ф-ия при и непрерывна.

С другой стороны никакими известными способами не удается выразить F(x) в виде элементарной функции (т.е. в виде конечного числа основных элементарных функций или конечного числа сложной функции). В этом случаи интеграл такого рода называется «неберущимся». Ответ есть и он выражается через бесконечное число элементарных функций.

К «неберущимся» интегралам относятся следующие интегралы: