Кривые II порядка Определение. Кривая называется кривой 2 го порядка, если она описывается уравнением

Рассмотрим кривые при Дополним левую часть до полного квадрата, получим

полагая получим

Точка представляет собой центр симметрии кривой, если Прямые и являются осями симметрии кривой.

Определение. Кривая 2 го порядка называется эллипсом (т.е.принадлежит эллиптическому типу), если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки, т.е.

Пусть А и С > 0, иначе умножим уравнение на (-1) - каноническое уравнение оэллипса - полуоси эллипса 1) действительный эллипс при

- Чертеж эллипса, соответствующего каноническому уравнению Частный случай: получим окружность

2) вырожденный эллипс, т.е. точка. 3) кривая не имеет действительных точек, условно её называют мнимым эллипсом.

Определение. Кривая 2 го порядка называется кривой гиперболического типа, если (А и С имеют разные знаки)

Пусть 1) Если,то получим гиперболу с каноническим уравнением - действительная полуось - мнимая полуось Диагонали прямоугольника являются асимптотами гиперболы

2) Если, то получим гиперболу, сопряженную к предыдущей. Действительная и мнимая полуоси меняются местами.

3) Если, то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, совпадающих с асимптотами.

Определение. Кривая 2 го порядка называется нецентральной, если она или не имеет центра симметрии, или же имеет бесконечно много центров симметрии. где и

Пусть (иначе – пара параллельных прямых) получим

Кривая называется параболой. - вершина параболы, - параметр параболы. Аналогично:

Применение кривых 2 го порядка к решению экономических задач Пример 1. Два предприятия, отстоящие одно от другого на 100 км, производят некоторое изделие, причем фабрично-заводская цена изделия на обоих предприятиях одинакова и равняется р. Пусть транспортные расходы на перевозку единицы изделия от предприятия А до потребителя составляют 9 руб/км, а от предприятия В – 3 руб/км. Как будет разделен рынок сбыта, если расходы потребителей должны быть одинаковыми?

Проведем через середину отрезка АВ оси системы координат. Допустим, что потребитель находится в точке ; введем обозначения

Расходы потребителя на приобретение единицы изделия у предприятия А составляют: а у предприятия В: Расходы потребителей одинаковы, если или откуда

Из рисунка видно, что и Для потребителя расходы на приобретение изделия одинаковы, если или откуда или или после сокращения

Деля обе части уравнения на 8, получим: Преобразуя далее, получим: откуда в итоге или

Это – уравнение окружности, центр которой находится на оси абсцисс и имеет абсциссу а радиус есть Для потребителей, находящихся на этой окружности, расходы на приобретение изделия одинаковы. Для потребителей, находящихся вне окружности, расходы на приобретение изделия ниже на предприятии В, а для потребителей, находящихся внутри окружности, - на предприятии А.

Следовательно, рынок будет поделен так: а) потребители, находящиеся внутри окружности, будут закупать данное изделие на предприятии А; б) для покупателей, находящихся на окружности, безразлично, на каком предприятии будут производиться закупки; в) потребители, находящиеся вне окружности, будут изделие на предприятии В.

Пример 2. Пусть в момент t = 0 началось производство определенного типа машин, которые раньше не производились. Допустим, что производство происходит равномерно, стоимость годового объема продукции составляет 1 млн. рублей, а срок эксплуатации машин равен 10 годам. Определить стоимость машинного парка на конец t-го года.

Искомую стоимость обозначим y. Задача состоит в том, чтобы найти зависимость Стоимость машинного парка в t-м году без учета его износа составляет t. Но фактическая стоимость машинного парка меньше вследствие физического износа.

В интервале (0,t) находим такие машины, которые введены в производство в начале периода, и такие, которые стали эксплуатировать позднее. Следовательно, их стоимость с учетом износа меньше. Поскольку машины передаются в эксплуатацию ежегодно, то средний возраст машины составляет 1/2t. Годовой износ машины составляет:

Таким образом, в t-м году стоимость износа машины составляет: Это – уравнение параболы, вершина которой не находится в начале координат. В этом случае