Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Определение: отрезок х называется средним пропорциональным или средним геометрическим между двумя отрезками а и в, если а : х = х : в Например, отрезок длиной 6 см является средним пропорциональным между отрезками с длинами 9 см и 4 см, т.к. 9 : 6 = 6 : 4 Равенство а : х = х : в можно записать в виде х 2 = а в или в виде х = Реши задачи: 1. Является ли отрезок длиной 8 см средним пропорциональным между отрезками с длинами 16 см и 4 см? 2. Является ли отрезок длиной 9 см средним пропорциональным между отрезками с длинами 15 см и 6 см? 3. Является ли отрезок длиной см средним пропорциональным между отрезками с длинами 5 см и 4 см? да нет да х – среднее геометрическое между а и в

Важное свойство. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Дано: АВС, АСВ = 90 0, СН АВ Доказать: АСН и СВН подобны АСН и АВС подобны СВН и АВС подобны Доказательство: Пусть А =, тогда В= , АСН = , ВСН = ( ) =. Итак, прямоугольные треугольники АСН и СВН подобны, т.к. А = ВСН, прямоугольные треугольники АСН и АВС подобны, т.к. А - общий, прямоугольные треугольники СВН и АВС подобны, т.к. В – общий. АВ С Н

Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Дано: АВС, АСВ = 90 0, СН АВ Доказать: СН = Доказательство: По доказанному АСН и СВН подобны, значит, сходственные стороны пропорциональны: А С Н В АН CH HB, следовательно, СН 2 = АН · НВ, т. е. СН =

А С Н В Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла. Дано: АВС, АСВ = 90 0, СН АВ Доказательство: АВ АС АН По доказанному АСН и АВС подобны, значит, сходственные стороны пропорциональны: Доказать: АС = ВС = АВ ВС ВН По доказанному ВСН и АВС подобны, значит, сходственные стороны пропорциональны: Значит, ВС 2 = АВ · ВН, т. е. ВС =Значит, АС 2 = АВ · АН, т. е.АС =

Решение задачи В трапеции АВСК АВ АК, АС СК, ВС = 6, АК = 8. Найдите углы трапеции. Н А В С К 6 8 Решение: Проведём СН АК, т. к. АВСК – трапеция и АВ АК, то АВСН – прямоугольник, АН = ВС = 6, НК = АК – АН = 8 – 6 = 2. СН – высота, проведённая из вершины прямого угла, значит, СН = По теореме Пифагора ( СНК) СК 2 = СН 2 + НК 2, СК 2 = = 16, СК = 4. В прямоугольном треугольнике СНК НК = ½ СК, значит, КСН = 30 0, К = 90 0 – 30 0 = В трапеции АВСК А = В = 90 0, К = 60 0, ВСК = – 60 0 = (2 способ нахождения СК из АСК: СК = ) Т. к. АС СК, то АСК – прямоугольный, Ответ: 90 0 ; 90 0 ; ; 60 0.

· Реши задачу ?

Реши задачу ?

Реши задачу 3. ? 1 8

Реши задачу 4. ? 3 4

Михайлова Л. П. ГОУ ЦО 173.