Правила комбинаторики Основные понятия алгебра 9 класс Выполнила Гуляева Е.В. учитель математики МОУ ПСШ

Цели урока: Познакомить с определением комбинаторики, основными понятиями и формулами. Познакомить с определением комбинаторики, основными понятиями и формулами. Научить применять формулы комбинаторики для решения задач. Научить применять формулы комбинаторики для решения задач.

КОМБИНАТОРИКОЙ называется раздел математики, в котором исследуется, сколько различных комбинаций (всевозможных объединений элементов), подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству КОМБИНАТОРИКОЙ называется раздел математики, в котором исследуется, сколько различных комбинаций (всевозможных объединений элементов), подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству

Правило суммы Если надо выбрать n вещей, причём одну выбрать m способами, а вторую k способами, то или одну или другую вещь можно выбрать (m + k) способами. Если надо выбрать n вещей, причём одну выбрать m способами, а вторую k способами, то или одну или другую вещь можно выбрать (m + k) способами. Имеется 8 шаров: в первый ящик положили 5 шт., а во второй - 3 шт.Сколькими способами можно вытащить 1 шар? Имеется 8 шаров: в первый ящик положили 5 шт., а во второй - 3 шт.Сколькими способами можно вытащить 1 шар? Решение: из первого ящика шар можно вытащить 5-ю способами, а из второго 3-мя. Значит, всего 5+3=8 способов Решение: из первого ящика шар можно вытащить 5-ю способами, а из второго 3-мя. Значит, всего 5+3=8 способов

Правило произведения Если надо выбрать n вещей, причём одну выбрать m способами, а вторую k способами, то одну и другую можно выбрать (m·k) способами. Если надо выбрать n вещей, причём одну выбрать m способами, а вторую k способами, то одну и другую можно выбрать (m·k) способами. В первом ящике 5 зелёных, а во втором - 3 красных шара. Сколькими способами можно вытащить 1 зелёный и 1 красный шар? В первом ящике 5 зелёных, а во втором - 3 красных шара. Сколькими способами можно вытащить 1 зелёный и 1 красный шар? Решение: зелёный можно выбрать 5-ю способами, а красный – 3-мя. Значит, 1 зелёный и 1 красный можно выбрать 3·5 = 15 способами. Решение: зелёный можно выбрать 5-ю способами, а красный – 3-мя. Значит, 1 зелёный и 1 красный можно выбрать 3·5 = 15 способами.

Виды комбинаций (выборок) Если из данного множества предметов мы будем выбирать некоторое подмножество, то его будем называть выборкой. Если из данного множества предметов мы будем выбирать некоторое подмножество, то его будем называть выборкой. Размещениями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые содержат по m элементов, взятых из числа данных n элементов, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n по m обозначается Размещениями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые содержат по m элементов, взятых из числа данных n элементов, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений из n по m обозначается A n m = n!/ ( n – m )!, где n! = ….n, A n m = n!/ ( n – m )!, где n! = ….n, ( n!- эн факториал) произведение n - последовательных натуральных чисел

Рассмотрение примеров В звене 12 человек. Требуется выбрать звеньевого, санитара, командира. Сколькими способами это можно сделать? В звене 12 человек. Требуется выбрать звеньевого, санитара, командира. Сколькими способами это можно сделать? Решение: сначала выбирают звеньевого, затем санитара, и наконец командира. Каждый может быть выбран звеньевым, поэтому существует 12 возможностей, для выбора санитара остаётся 11 возможностей, а выбор командира уже 10 способов. Следовательно, всего получается 12х11х10 =1320 способов, что бы выбрать трёх учеников из 12 т.е. A 12 3 = 12х11х10 = 1320 Решение: сначала выбирают звеньевого, затем санитара, и наконец командира. Каждый может быть выбран звеньевым, поэтому существует 12 возможностей, для выбора санитара остаётся 11 возможностей, а выбор командира уже 10 способов. Следовательно, всего получается 12х11х10 =1320 способов, что бы выбрать трёх учеников из 12 т.е. A 12 3 = 12х11х10 = 1320

Перестановками без повторений из n элементов по n называются размещения, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов. Число перестановок обозначается P n = n! Перестановками без повторений из n элементов по n называются размещения, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов. Число перестановок обозначается P n = n! Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1,2,3,4, если каждая цифра входит в число только один раз? Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1,2,3,4, если каждая цифра входит в число только один раз? Решение: P n = 4! = 1*2*3*4 = 24 Решение: P n = 4! = 1*2*3*4 = 24

Размещения без повторений из n элементов по m, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями Размещения без повторений из n элементов по m, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются сочетаниями C m n = (A n m )/P m C m n = (A n m )/P m

Рассмотрение примеров На тренировке занимаются 10 баскетболистов. Сколько различных стартовых пятёрок может образовать тренер? На тренировке занимаются 10 баскетболистов. Сколько различных стартовых пятёрок может образовать тренер? Решение: так как при составлении стартовой пятёрки тренера интересует только состав пятёрки, то достаточно определить число сочетаний из 10 элементов по 5: Решение: так как при составлении стартовой пятёрки тренера интересует только состав пятёрки, то достаточно определить число сочетаний из 10 элементов по 5: С 10 5 = ( 10х9х8х7х6)/(1х2х3х4х5) = 252 С 10 5 = ( 10х9х8х7х6)/(1х2х3х4х5) = 252

Различие между перестановками, размещениями, сочетаниями В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение. В случае перестановок берутся все элементы и изменяется только их местоположение. В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга. В случае размещений берётся только часть элементов и важно расположение элементов друг относительно друга. В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга. В случае сочетаний берётся только часть элементов и не имеет значения расположение элементов друг относительно друга.

Проверь себя Что такое комбинаторика? Что такое комбинаторика? В чём состоит правило суммы? В чём состоит правило суммы? В чём состоит правило произведения? В чём состоит правило произведения? Что такое размещения? Что такое размещения? Запишите формулу для нахождения числа размещений. Запишите формулу для нахождения числа размещений. Что такое перестановки? Что такое перестановки? Запишите формулу для нахождения числа перестановок. Запишите формулу для нахождения числа перестановок. Что такое факториал? Что такое факториал? Что такое сочетания? Что такое сочетания? Запишите формулу для нахождения числа сочетаний. Запишите формулу для нахождения числа сочетаний. В чём различие между перестановками, размещениями, сочетаниями? В чём различие между перестановками, размещениями, сочетаниями?

Задачи на дом Уровень А В спортивном лагере 8 команд, а на складе имеются синие, чёрные майки и трусы. Хватит ли на 8 команд комплектов спортивной формы? В спортивном лагере 8 команд, а на складе имеются синие, чёрные майки и трусы. Хватит ли на 8 команд комплектов спортивной формы? В тренировках участвовали 12 баскетболистов. Сколько может образовать тренер различных стартовых пятёрок? В тренировках участвовали 12 баскетболистов. Сколько может образовать тренер различных стартовых пятёрок? Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36 в карточках лотереи «Спортлото»? Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36 в карточках лотереи «Спортлото»?

Уровень В На горку ведут 5 дорожек. Сколько имеется вариантов подъёма и спуска по этим дорожкам? На горку ведут 5 дорожек. Сколько имеется вариантов подъёма и спуска по этим дорожкам? В кружке юных математиков 25 членов. Сколькими способами можно выбрать председателя кружка, заместителя, редактора стенгазеты и секретаря? В кружке юных математиков 25 членов. Сколькими способами можно выбрать председателя кружка, заместителя, редактора стенгазеты и секретаря? В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нём состоится матчей, если участвуют 12 команд? В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нём состоится матчей, если участвуют 12 команд?

До свидания!