Лектор Янущик О.В. 2013 г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного.
Advertisements

Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Интегрирование функций комплексного переменного.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Частные производные высших порядков. Дифференцируемость.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Дифференциал функции. Производные и дифференциалы порядка n.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Ряды в комплексной плоскости (числовые, функциональные)
Def. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z 0 g, если при z 0 §4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства,
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Дифференциальное исчисление Тема: Производная функции.
Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Первообразная функция и неопределенный интеграл. Методы интегрирования.
Дифференциал функции Определение 1. Пусть приращение функции можно представить в виде где A не зависит от, - бесконечно малая более высокого порядка малости,
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные.
Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Лектор Пахомова Е.Г г.
Бер Л.М. Функция нескольких переменных НИ ТПУ Рег. 96 от Company Logo 1 Функция нескольких переменных Определение. Точкой x в n-мерном пространстве.
Основы высшей математики и математической статистики.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ Лекция 3 Дифференциальное исчисление Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент кафедры высшей математики БГУИР.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание). Частные производные.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Интегрирование ФНП Тема: Тройной интеграл.
Определение дифференциала функции Дифференцируемость функции Правила дифференцирования Инвариантность формы дифференциала Пример Дифференциал в приближенных.
Транксрипт:

Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного

§5. Дифференцирование функции комплексного переменного 1. Производная функции комплексного переменного Пусть w = f(z) – однозначная функция, f(z) определена в точке z 0 и некоторой ее окрестности. Придадим z 0 приращение z такое, что z 0 + z D(f). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции w = f(z) в точке z 0 называется (если он существует и конечен). Обозначают: Зависимость z f (z) является функцией. Ее называют произ- водной функции f(z) и обозначают :

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция w = f(z) называется дифференци- руемой в точке z 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно z части и бесконечно малой более высокого порядка чем z, т.е. f(z 0 ) = A z + α · Δz,(1) где A – комплексное число, α = α(z 0, Δz) – бесконечно малая при Δz 0. Замечание. (1) можно записать в виде f(z 0 ) = A z + ( z), где ( z) – б.м. более высокого порядка чем z. Слагаемое A z в выражении (1) называют дифференциалом функции w = f(z) в точке z 0 и обозначают: dw(z 0 ), df(z 0 ).

ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной). Функция w = f(z) дифференцируема в точке z 0 f (z 0 ). При этом для ее дифференциала в точке z 0 справедливо равенствоdw(z 0 ) = f (z 0 ) z.(2) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО сам-но ТЕОРЕМА 2. (необходимое и достаточное условие дифферен- цируемости функции) Функция f(z) = u(x,y) + iv(x,y) дифференцируема в точке z 0 =x 0 +iy 0 1 ) u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в M 0 (x 0,y 0 ) 2)в точке M 0 (x 0,y 0 ) выполняются условия Коши – Римана: Замечание. Если f ʹ (z 0 ) существует, то

Имеем: w = f(z) ТЕОРЕМА 3. (об условии, эквивалентном условиям Коши – Римана) Условия Коши – Римана эквивалентны условию СЛЕДСТВИЕ. Если функция элементарная, то для нее условия Коши – Римана выполняются и производная находится по обычным правилам.

2. Аналитические функции Областью на комплексной плоскости называют открытое и связное множество. (т.е. множество, каждая точка которого – внутренняя и любые две точки которого можно соединить линией, целиком лежащей в этом множестве). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(z) называется аналитической в точке z 0 если она дифференцируема в этой точке и во всех точках некоторой окрестности точки z 0.

СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 1)Если функция f(z) аналитическая в окрестности точки z 0, то f(z) непрерывна в этой окрестности. 2)Если функции f(z) и φ(z) аналитичны в области D, то f(z)±φ(z) и f(z) · φ(z) тоже аналитичны в этой области. Кроме того, их частное аналитично всюду в области D, где φ(z) 0. 3)Если функция f(z): D E – аналитична в области D, φ(z): E G – аналитична в области E, то функция φ(f(z)) – аналитична в D.

4) Если в окрестности точки z 0 определена аналитическая функция f(z) такая, что f (z 0 ) 0, то в некоторой окрест- ности точки w 0 = f(z 0 ) определена единственная обратная функция z = φ(w), которая будет аналитической в этой окрестности и для которой справедливо равенство 5)Если f(z): и f(z) – ограниченная и аналитическая на всей комплексной плоскости, то f(z)=const. (теорема Лиувилля)

6) Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y) – аналитическая в области D, то функции u(x,y) и v(x,y) являются гармоническими. Доказательство. Функция φ(x,y) называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласса Две гармонические функции u(x,y) и v(x,y), удовлет- воряющие условиям Коши – Римана называются сопря- женной парой гармонических функций (порядок функций в паре существенен!) 7) Если f(z) – аналитическая в области D, то действительная (мнимая) часть определяет ее с точностью до константы.

8)Пусть f(z) – аналитическая в области D, z 0 D и f (z 0 ) 0. Тогда все бесконечно малые дуги, выходящие из точки z 0 при отображении f(z) поворачиваются на один и тот же угол, равный argf (z 0 ), и получают одно и то же растяжение, равное | f (z 0 )|. (геометрический смысл производной аналитической функции)

4) Если в окрестности точки z 0 определена аналитическая функция f(z) такая, что f (z 0 ) 0, то в некоторой окрест- ности точки w 0 = f(z 0 ) определена единственная обратная функция z = φ(w), которая будет аналитической в этой окрестности и для которой справедливо равенство 5)Пусть f(z) – аналитическая в области D. Тогда: а)если f(z) const в D, то | f(z)| не достигает в D своего наименьшего значения; б)если f(z) 0 в D, то | f(z)| не достигает в D своего наибольшего значения; в)если f(z) 0 в D и f(z) непрерывна на границе области D, то | f(z)| достигает своего наибольшего и наимень- шего значения на границе области D. (принцип максимума модуля)