Тема: Тема: Угол между плоскостями. Урок 3 «Решаем С2 ЕГЭ» Разработала: Куракова Е. В., учитель математики МБОУ СОШ с УИОП 38 им. Е. А. Болховитинова 11 класс физико - математического профиля

Цели : Повторить понятие угла между плоскостями, нормали к плоскости. Повторить понятие угла между плоскостями, нормали к плоскости. Закрепить методы введение координат Закрепить методы введение координат Рассмотреть примеры С 2 ЕГЭ Рассмотреть примеры С 2 ЕГЭ Блитц-опрос по терминам

DB 1 2. Нормаль ко второй плоскости, которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой В 1 D. Значит, В 1 D перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль B 1 D. 1. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD =. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 5 Расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD?zx C 1. Нормаль к плоскости А DD 1DC Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y

(0; 5; 0) Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD =. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA 1 D 1 D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 5 Я выбрала очень удобно нормальные векторы. Ведь это радиус-векторы. Координаты радиус-вектора такие же, как и координаты конца вектора. Значит, нам надо найти координаты точек В 1 и С.zx C y ( ; 5; ) DB 1 1. DC 2. ( ; 5; ) (0; 5; 0)

3. DB 1 ( ; 5; ) DC (0; 5; 0) Теперь найдем тангенс. 1 tg tg 2 A 1 cos 2 A т.к. – острый угол

D1BD1BD1BD1B 2. Нормаль ко второй плоскости, которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой BD 1. Значит, В D 1 - перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль D 1 B. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 3, ВС = 4, АА 1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали В D 1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью с основанием параллелепипеда. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 3zx C 1. Нормаль к плоскости А BC DD 1 Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y 4 12 D (0; 0; 12) DD 1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D 1 DD 1 (0;0;12) (4; 3; 0)(4; 3; 0)(4; 3; 0)(4; 3; 0) Чтобы найти координаты вектора D 1 B, вычтем из конца вектора его начало. D1BD1BD1BD1B ( 4; 3;-12)

DD 1 (0;0;12) D1BD1BD1BD1B ( 4; 3;-12) 12

D1BD1BD1BD1B 2. Нормаль ко второй плоскости, которую я и строить не берусь… Но по условию это сечение проходит перпендикулярно прямой BD 1. Значит, В D 1 - перпендикуляр к плоскости. Выберем нормаль D 1 B. 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD =. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A 1 D 1 перпендикулярно прямой BD 1, если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно 5. D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 12 Расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 ?zx C 1. Нормаль к плоскости А BC DD 1 Решим задачу методом координат. Введем нормали к плоскостям. y

D1D1D1D1 BA D B1B1B1B1 C1C1C1C1 A1A1A1A1 12zx C y 5 (0; 0; 5) ( ; 12; 0) DD 1 DD 1 – это радиус-вектор, поэтому его координаты такие же, как и точки D 1 (0; 0; 5) D1BD1BD1BD1B Чтобы найти координаты вектора D 1 B, вычтем из конца вектора его начало. ( ; 12; -5)

DD 1 (0; 0; 5) D1BD1BD1BD1B ( ; 12; -5)

4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра:, AB = 5, AD = 12, СС 1 = 5. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и A D 1 B 1. C C1C1C1C1 B1B1B1B1 D B D1D1D1D1 A A1A1A1A х yz (12;0;0) В данной задаче построение линейного угла не столь очевидно. Поэтому применим метод координат. Найдем вектор нормали плоскости AD 1 B 1. Рассмотрим два вектора этой плоскости : (0;0;5)(0;0;5)(0;0;5)(0;0;5)55 (0;5;0)(0;5;0)(0;5;0)(0;5;0) (12;5;5) Получим систему AD 1 (-12;0;5) AB 1 (0;5;5) Пусть вектор нормали n { x ; y ; z }. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, AD 1 n AB 1 n AD 1 n = 0 значит, AB 1 n = 0 значит, Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости AD 1 B 1, бесконечно n много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n, положив х = 1, тогда у = –, z = Из (1): «–» (1;– ; ) n Вектор нормали плоскости AD 1 B 1 :

C C1C1C1C1 B1B1B1B1 D B D1D1D1D1 A A1A1A1A х yz (12;0;0) Найдем вектор нормали плоскости CD 1 B 1. Рассмотрим два вектора этой плоскости : (0;0;5)(0;0;5)(0;0;5)(0;0;5) 5 (0;5;0)(0;5;0)(0;5;0)(0;5;0) (12;5;5) Получим систему CD 1 (0;-5;5) CB 1 (12;0;5) Пусть вектор нормали s { x ; y ; z }. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, CD 1 s CB 1 s CD 1 s = 0 значит, CB 1 s = 0 значит, Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости CD 1 B 1, бесконечно s много. Выберем из данного множества ненулевой вектор s, положив х = 1, тогда у = –, z = – Из ( 2 ): «–» (1;– ;– ) s Вектор нормали плоскости CD 1 B 1 :

(1;– ; ) n (1;– ;– ) s125125

Пусть вектор нормали n { x ; y ; z }. Вектор, перпендикулярный плоскости, будет перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда, 7. В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью А CB 1 и боковой гранью ВВ 1 С 1 С. C C1C1C1C1 B1B1B1B1 D B D1D1D1D1 A A1A1A1A1 1 х yz В данной задаче построение линейного угла не столь очевидно. Поэтому применим метод координат. Найдем вектор нормали плоскости А CB 1. Рассмотрим два вектора этой плоскости : Получим систему AB 1 (0; ;1) ACn AB 1 n ACn = 0 значит, AB 1 n = 0 значит, Вектор нормали плоскости ACB 1 :2 2 ( ;0;0) 2 ( ; ;1) 2 2 AC (- ; ;0) 22 2 (1;1;- ) n2 Если в задаче не дано числовое значение, то можем обозначить боковое ребро «1», тогда диагональ основания равна 2. Найдем сторону основания. Основание – квадрат. ? 2 А В С D 45 0 (0; ;0) 2 p2 Вектор нормали плоскости ВВ 1 С 1 : Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости ACB 1, бесконечно n много. Выберем из данного множества ненулевой вектор n, положив х = 1, тогда у = 1, z = – :/ ::/ :2 2 Из (1)

(1;1;- ) n2 (0; ;0) p2

Домашнее задание 1. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD =. Найдите тангенс угла между плоскостью ВA 1 D 1 и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми A 1 C 1 и BD равно. 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 3, ВС = 4, АА 1 = 12. Через середину ребра АВ перпендикулярно диагонали ВD 1 проведена плоскость. Найдите угол образованный этой плоскостью боковыми плоскостями параллелепипеда. 3. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD =. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через середину ребра A 1 D 1 перпендикулярно прямой B 1 D, если расстояние между прямыми AC и B 1 D 1 равно В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра: AB = 5, AD = 12, СС 1 = 5. Найдите угол между плоскостями CD 1 B 1 и AD 1 B В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 диагональ основания в 2 раза больше бокового ребра. Найдите угол между плоскостью DCB 1 и боковой гранью ВВ 1 С 1 С.