Использование уравнения окружности при решении задач.

План презентации: Цели : узнать, кто такой Аполлоний Пергский; разобрать задачу; с помощью разобранной задачи решить подобную. 1)Аполлоний Пергский. 2)Использование уравнений окружности и прямой при решении задач. 3)986.

Аполло́ний Пергский ( πολλώνιος Περγαος, Перге, 262 до н. э. 190 до н. э.) древнегреческий математик, один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности, живших в III веке до н. э. Аполлоний прославился в первую очередь монографией « Конические сечения » (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто « сечениями конуса ». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппл иката. Из других заслуг Аполлония перед наукой отметим, что он переработал астрономическую модель Евдокса, введя эпициклы и эксцентрики для объяснения неравномерности движения планет. Эту теорию позднее развили Гиппарх и Птолемей. Он также дал решение задачи о построении окружности, касающейся трёх заданных окружностей ( « задача Аполлония » ), изучал спиральные линии, занимался геометрической оптикой. Перге 262 до н. э. 190 до н. э. древнегреческий математик Евклидом Архимедом III веке до н. э. эллипса параболы гиперболы асимптота абсцисса ордината аппл иката Евдокса эпициклы Гиппарх Птолемей задача Аполлония спиральные линии геометрической оптикой

Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых АМ²-ВМ²=k², где k-данное число. Решение Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точка А была началом координат, а точка В имела координаты (а;0), где а=АВ. Найдем расстояния от произвольной точки М(x;у) до точек А и В: АМ= х²+у², ВМ= (х-а)²+у². Если точка М(x;у) принадлежит искомому множеству, то АМ²- ВМ²=k, поэтому координаты точки М удовлетворяют уравнению х²+у²- (х-а)²- у²=k, или 2ах- а²-k=0. Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Итак, полученное уравнение является уравнением искомого множества точек. Но этим уравнением определяется прямая, параллельная ось Оу, если а²+k=0, и сама ось Оу, если а²+k=0. Таким образом, искомым множеством точек является прямая, перпендикулярная к прямой АВ.

Дано: ABCD. Найти: Множество точек М, для каждой из которых (АМ ² +DM ² )-(BM ² +CM ² )=2AB ² Решение: 1)Введем прямоугольную систему координат так, чтобы AD Ox, AB Oy, А-начало координат, А(0;0), D(а;0), В(0;b), С(а;b), M(х;у). 2)АМ ² =х ² +у ²; DM ² = (а-х) ²+ у ²; ВM ² = х ² +(b-у) ²; СМ ² =(а-х) ² +(b-у) ²; АВ ² =b ², следовательно (х ² +у ²+ (а-х) ² +у ² )-(х ² +(b-у) ² +(а+х) ² +(b-у) ²= 2b ² х ² +у ² +а ²- 2ах+х ² +у ²- х ²- b ² +2by- у ²- а ²+ 2ах - х ²- b ² +2by - у ²= 2b ² - 2b ² +4by = 2b ² ; 4by=4b ². у=b, прямая проходящая через ВС. 986

Литература: 1) 2) Геометрия, 7-9: учеб. Для общеобразоват. учреждений. Л. С. Атанясин и др. Просвещение.2006 год.

Презентацию выполнила ученица 9 класса А