ОСНОВЫ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ Тема 3.

Основные понятия, используемые при осуществлении финансовых расчетов. Проценты Процентная ставка Наращение (рост) первоначальной суммы долга Compounding Discounting Период начисления процентов Интервал начисления Декурсивный способ начисления процентов Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов. Номинальная ставка процентов Ставка ссудного процента Учетная ставка (ставка дисконта) Эквивалентные процентные ставки Эффективная ставка сложных процентов Номинальная ставка процентов Реальная ставка процентов Аннуитет (финансовая рента)

КОНЦЕПЦИЯ ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ Основное положение концепции заключается в том, что одну и ту же суму денег можно рассматривать: - с позиции ее настоящей стоимости; - с позиции ее будущей стоимости.

КОНЦЕПЦИЯ ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределенность во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов (до 1 года) в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает относительно незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Определяя годовой объем реализации по предприятию, просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогично поступают со всеми остальными денежными потоками, что позволяет оперировать их итоговыми значениями. Однако в случае более длительных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема обеспечения сопоставимости данных. Одна и та же номинальная сумма денег, полученная предприятием с интервалом в 1 и более год, в таких условиях будет иметь для него неодинаковую ценность. Очевидно, что 1 млн р. в начале 1990 г. был значительно весомее миллиона «образца» 1995 и более поздних лет. Как правило, в таких случаях производят корректировку отчетных данных с учетом инфляции. Но проблема не сводится только к учету инфляции. Одним из основополагающих принципов финансового менеджмента является признание временной ценности денег, то есть зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их получения или расходования. В экономической теории данное свойство называется положительным временным предпочтением.

Причины возникновения экономического феномена положительного временного предпочтения Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена: 1) «сегодняшние» деньги всегда будут ценнее «завтрашних» из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого «завтра»; 2) располагая денежными средствами «сегодня», экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами «сегодня» на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования; 3) снижается платежеспособность кредитора, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем «живые» деньги. То есть у кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения; 4) инфляция

Настоящая и будущая стоимость денег Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые по их мнению полностью возместят им все моральные и материальные неудобства, возникающие у человека, расстающегося (пусть даже и временно) с денежными средствами. В процессе сравнения стоимости денежных средств при их вложении и возврате принято использовать два основных понятия: настоящая (современная) стоимость денег (P, PV) будущая стоимость денег (S,FV). Основной принцип – принцип неравноценности денег во времени.

Определение будущей стоимости денег Будущая стоимость денег представляет собой ту сумму, в которую превратятся инвестированные в настоящий момент денежные средства через определенный период времени с учетом определенной процентной ставки. Определение будущей стоимости денег связано с процессом наращения (compounding) начальной стоимости, который представляет собой поэтапное увеличение вложенной суммы путем присоединения к первоначальному ее размеру суммы процентных платежей (i,r). В инвестиционных расчетах процентная ставка платежей применяется не только как инструмент наращения стоимости денежных средств, но и как измеритель степени доходности инвестиционных операций.

Определение настоящей стоимости денег Настоящая (современная) стоимость денег представляет собой сумму будущих денежных поступлений, приведенных к настоящему моменту времени с учетом определенной процентной ставки. Определение настоящей стоимости денег связано с процессом дисконтирования (discounting), будущей стоимости, который (процесс) представляет собой операцию обратную наращению. Дисконтирование используется во многих задачах анализа инвестиций. Типичной в данном случае является следующая: определить какую сумму надо инвестировать сейчас, чтобы получить например, 1000 долларов через 5 лет.

Метод определения величины дохода при помощи учета процентов. Величина получаемого дохода (процентов) определяется исходя из: 1) величины вкладываемого капитала, 2) срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, 3) размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Простые и сложные проценты Различают метод простых и сложных процентов

МЕТОД ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

Проценты – это абсолютная величина дохода от представления денег в долг в любой форме. Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов. Наращение (рост, реинвестирование) первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода). Множитель (коэффициент) наращения – это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал. Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на который предоставляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления. Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Способы определения и начисления процентов 1) Декурсивный способ начисления процентов. Проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала. Соответственно декурсивная процентная ставка (ссудный процент) представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала. ИЛИ - процент выплачивается в конце интервала начисления вместе с основной суммой кредита. Ставка ссудного процента – ставка процента, применяемая при расчете декурсивных процентов. 2) Антисипативный способ (предварительный) начисления процентов. Проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой (учетная ставка) будет выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. ИЛИ - процент выплачивается авансом, в момент предоставления кредита (ссуды) и определяется на основании конечной суммы долга. Учетная ставка – ставка процента, применяемая при расчете антисипативных процентов и дисконтировании. Для кредитора выгоднее антисипативная ставка, а для заёмщика декурсивная. Так, если величина процентной ставки составляет 10 %, то при декурсивной ставке при кредите в 1000 руб. кредитор получит 1100 р. в конце срока. При антисипативной ставке он даст заёмщику 900 р. и в конце срока получит 1000 р. Доход будет одинаков (100 р.) при различных первоначальных суммах.

Номинальная и реальная процентная ставка Номинальная ставка процентов – объявленная годовая ставка процента. Реальная процентная ставка это процентная ставка, «очищенная» от инфляции. Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей (приближённой) формулой: i r = i n - π, где i r номинальная процентная ставка, i n реальная процентная ставка, iπ ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

Эквивалентная процентная ставка Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Эквивалентные процентные ставки необходимо знать в случаях, когда существует возможность выбора условий финансовой операции и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок. Эквивалентность различных процентных ставок никогда не зависит от величины первоначальной суммы. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления за исключением случая эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).

Аннуитет Аннуитет (финансовая рента) – поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет. Два вида аннуитета: пренумерандо и постнумерандо. Если платежи осуществляются в конце интервалов, то аннуитет носит название постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – самый распространенный случай (декурсивный способ начисления процентов). Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо (антисипативный способ начисления процентов).

Депозит Депозит – это банковский вклад (банковский депозит) сумма денег, переданная кредитору с целью получить доход в виде процентов, образующихся в ходе финансовых операций с вкладом.

COMPOUNDING (НАРАЩЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ)

Наращеннная сумма денег (ссуды, долга) – это первоначальная сумма + начисленные к концу срока ссуды проценты: S=P+I S – наращенная сумма денег; P – первоначальная сумма денег; I – начисленные к концу срока ссуды проценты.

Простая процентная ставка наращения

Простая процентная ставка наращения денег

МЕТОД СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Сложная процентная ставка Сложная процентная ставка – это ставка, при которой база начисления является переменной, т.е. проценты начисляются на проценты. S=P(1+i) n где S – будущая стоимость денег, P – настоящая стоимость денег, i – процентная ставка, n – срок ссуды q=(1+i) n – множитель наращения сложных процентов

DISCOUNTING (ДИСКОНТИРОВАНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ)

Дисконтирование (метод простых процентов)

Дисконтирование (метод сложных процентов)

Дисконт суммы

Правило «69» и «72» Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки (для дисконтирования денежных потоков методом сложных процентов)

УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ В ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Инфляция и покупательная способность денег В инвестиционной практике постоянно приходится считаться с корректирующим фактором инфляции, которая с течением времени обесценивает стоимость денежных средств. Это связано с тем, что инфляционный рост индекса средних цен вызывает соответствующее снижение покупательной способности денег.

Корректировка денежной суммы с учетом инфляции Номинальная сумма денежных средств - не учитывает изменение покупательной способности денег. Реальная сумма денежных средств – это оценка этой суммы с учетом изменения покупательной способности денег в связи с процессом инфляции.

Учет инфляции в финансово- экономических расчетах - при корректировке наращенной стоимости денежных средств; - при формировании ставки процента (с учетом инфляции), используемой для наращения и дисконтирования; - при прогнозе уровня доходов от инвестиций, учитывающих темпы инфляции.

Расчет реальной стоимости денежных средств

Формула Пааше Для расчета индекса цен может быть использована формула Пааше: где

Темп прироста инфляции

Индекс цен за несколько периодов времени где n – число периодов времени, следующих друг за другом; t – номер периода; I p, t – индекс цен в периоде t; H t – темп прироста инфляции в периоде t.

Оценка денежной суммы с постоянным темпом прироста инфляции

Средний индекс цен и средний темп прироста инфляции за период времени где n – количество периодов (лет)

Обесцененная инфляцией сумма денег для метода простых процентов

Обесцененная инфляцией сумма денег для метода сложных процентов

Зависимость обесцененной инфляцией суммы от времени Эрозия капитала – это обесценивание денег во времени за счет инфляции

Пример

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ СТАВКИ

Брутто-ставка

где а – сложная процентная ставка (доходность операции) H t – темп прироста инфляции в периоде t. Расчет сложной процентной брутто-ставки

Таким образом, как следует из формулы, определить брутто-ставку путем сложения доходности операции и темпа прироста инфляции можно только при небольших значениях этих величин

Инфляционная премия Пример Пусть инвестору обещана реальная прибыльность его вложений в соответствии с процентной ставкой 10 %. Это означает, что при инвестировании 1000 р. через год он получит 1000 × (1+0,10) = 1100 р. Если темп инфляции составляет 25 %, то инвестор корректирует эту сумму в соответствии с темпом: 1100 × (1 + 0,25) = 1375 р. Общий расчет может быть записан следующим образом: 1000 × (1 + 0,10) × (1+0,25) = 1375 р. В общем случае, если (Iр) – реальная процентная ставка прибыльноcти, а H – темп инфляции, то номинальная (контрактная) норма прибыльности запишется с помощью формулы: I = Ip + H+ (Ip × H), тогда величина - Ip + (Ip × H) имеет смысл инфляционной премии.

Ошибки расчета брутто-ставки

Задания для самоконтроля 1. Определите, в каких случаях целесообразно использовать дисконтирование денежного потока, в каких – наращение, а в каких – выбор метода безразличен: - предприятие «А» планирует через 3 года приобретение оборудования и определяет, достаточно ли будет для этого средств амортизационного фонда; - предприятие «В» планирует открыть сеть магазинов с известным уровнем доходов и затрат и определяет целесообразность вложения финансовых ресурсов в данное направление деятельности; - предприятие «Д» решает взять банковский кредит (для финансирования недостатка оборотных средств) с погашением суммы кредита и процентов по нему равными годовыми платежами и составляет график погашения кредита; - предприятие «М» принимает решение о целесообразности продажи пакета ценных бумаг, генерирующих известный ежегодный доход; - предприятие «Н» выбирает наиболее эффективный способ вложения средств и оценивает вариант вложения денег в банк или в пакет ценных бумаг. 2. За какой период времени при уровне инфляции 10 % произойдет двукратное увеличение стоимости объекта недвижимости? Как изменится ответ на вопрос, если уровень инфляции повысится до 18 %? Какие управленческие решения может принять предприятие с помощью этой информации? 3. Рассчитайте реальную ставку банковского процента по потребительским кредитам Сбербанка (с учетом инфляционной премии) при текущем уровне инфляции и действующей номинальной ставке банковского процента. Проведите аналогичные расчеты по условиям банковского вклада. Что можно сказать о взаимовыгодности отношений между банком и клиентом?