Проводимость конечных систем и скейлинг в теории локализации И.М.Суслов Институт физических проблем им. П.Л.Капицы РАН

Скейлинговая теория локализации «Банда четырех»: Скейлинговый параметр где - полная проводимость (кондактанс) блока размера L

Поскольку блок размера nL может быть получен из n d блоков размера L, то что при n1 может быть записано в дифференциальной форме: β (g) g d-2 Поскольку очевидно (металл) то (диэлектрик)

Дискуссия 1980-х переоткрытие формулы Ландауэра оригинальный вывод вывод из теории линейного отклика общие комментарии многоканальные обобщения результирующий обзор

Простейшая формула Ландауэра Электрический ток Разность химпотенциалов

Итоги дискуссии Одноканальный случай: Многоканальный случай:

Что такое проводимость конечных систем?

Формулы Кубо: инструкция по эксплуатации 1. Вводится затухание γ 2. Берется термодина- мический предел 3. Берется предел

Решение проблемы в контексте формул Ландауэра ideal conductor ideal conductor sample Термодинамический предел берется для идеального проводника. Формулы Ландауэра относятся к составной системе «образец+подводящие провода».

Решение проблемы в контексте формул Ландауэра ideal conductor ideal conductor sample При наличии барьера на границе формулы Ландауэра не отражают свойства образца.

В настоящий момент остаются непроясненными следующие вопросы: (а) об исключении контактного сопротивления в многоканаль- ном случае; (б) о связи формул Ландауэра с внутренними свойствами системы; (в) о связи проводимости конечной системы с коэффициентом диффузии D( ω,q). Ответ на эти вопросы дается ниже в рамках двух подходов: (1)Самосогласованной теории локализации Вольхардта – Вольфле; (2) Квантовомеханического анализа, основанного на модели оболочек. Оба подхода приводят к одинаковому определению проводи- мости конечных систем.

Общая схема теории Конечная система является квази-нульмерной и ее состояния формально локализованы причем для корреляционного радиуса справедливо скейлинговое соотношение В открытой системе появляется конечная проводимость Получить g как функцию L/ ξ м ожно также из уравнения Гелл-Манна – Лоу а знание F и F 1 эквивалентно знанию β (g).

ln g β(g) d=1 d=3 d=2

Использование модели оболочек

Используя формулу Эконому – Соуколиса имеем для безразмерного кондактанса В результате усреднения возникает коррелятор плотности связанный с коэффициентом диффузии:

Для «тонких» контактов где введена эффективная прозрачность границы и изменено определение коррелятора Определение проводимости конечной системы

Предельно открытой системе соответствует плато при и естественно полагать Вместо этого можно взять производную в нуле что определяет проводимость предельно открытой системы в терминах почти закрытых систем. Определение проводимости конечной системы

Преимущества такого определения: (а) Оно заведомо характеризует внутренние свойства системы; (б) Решается вопрос о контактном сопротивлении резервуара; (в) Кондактанс идеальной системы является бесконечным (расходимость при m0 связана с существованием разрешенного значения q=0) Определение проводимости конечной системы В точности такое же определение следует из самосогласованной теории локализации.

Теория Вольхардта-Вольфле Основана на существовании диффузионного полюса в неприводимой четыреххвостке играющей роль вероятности перехода в квантовом кинетическом уравнении. Аппроксимация типа τ - приближения дает уравнение самосогласования = + +

Уравнение самосогласования Металлическая фаза существует, если интеграл конечен при m=0; это верно для d>2. Считая, что D=const при ω 0 т.е. s=1.

В диэлектрической фазе D = - iω ξ 2 при ω 0 ( m= ξ -1 ) Гипотеза о точности самосогласованной теории: Вывод без грубых аппроксимаций:

О ранней попытке скейлинга (Vollhardt and Woelfle, 1982) 1. Модификация соотношения Эйнштейна

2. Модификация уравнения самосогласования Для конечной системы в уравнении самосогласования вводится обрезание на нижнем пределе Вычитая такое же уравнение с L=, имеем Коэффициент диффузии конечной системы оказывается сингулярным в критической точке, что делает бессмысленными скейлинговые построения..

Корреляционный радиус квази-нульмерной системы Для описания конечных систем интеграл заменяется на дискретную сумму Член с расходится при m 0 и система всегда оказывается в локализованной фазе. Коэффициент диффузии имеет локализационное поведение

Корреляционный радиус является гладкой функцией от расстояния до перехода но определяется зависимостью, состоящей из двух ветвей, если рассматривается как функция ξ :

Различие открытых и закрытых систем Уравнение диффузии В конечной системе оператор Лапласа имеет нетривиальный спектр Закрытые системы: Открытые системы:

Различие открытых и закрытых систем Эволюция начального распределения : Предельное распределение в закрытой системе т.е. число частиц сохраняется. В открытой системе частицы уходят через границы.

Примеры: Для блоховских граничных условий система закрыта при φ=0 ; открыта при φ0 ; предельно открыта при φ=π Для реалистических граничных условий система закрыта при κ=0 ; открыта при κ0 ; предельно открыта при κ= 0 L

Затухание состояний и конечность коэффициента диффузии Коррелятор плотности выражается через спектральную плотность ρ связанную с поляризуемостью α откуда

Замена в определениях функций Грина дает замену в корреляторе плотности. В локализованной фазе остается инвариантной комбинация При ω=0 возникает конечный коэффициент диффузии D=2 γξ 2

Исходное уравнение для бесконечной системы в закрытой конечной имеет вид тогда как в открытой Беря разность Модификация уравнения самосогласования

Используя блоховские граничные условия и принимая в качестве эталонных периодические ( φ=0 ) и антипериодические ( φ=π ), имеем «определение по Таулесу» для кондактанса которое обеспечивает экспоненту в локализованной фазе

Происхождение экспоненты При оценке интегралов от быстро осциллирующих функций существенны аналитические свойства. Если имеет скачок n-й производной, то Если регулярна на действительной оси, то Аналогичная ситуация – при оценке интеграла дискретной суммой

Используя формулу суммирования Пуассона имеем Член с k=0 соответствует континуальному приближению. Эффект дискретности имеет порядок В нашем случае, что дает

Скейлинговое соотношение для g L Результат можно записать в виде скейлингового соот- ношения: где H T (z) соответствует определению по Таулесу: d=1,2,3

Скейлинговые уравнения d=1,2,3

Зависимость g L от L/ξ определяется в параметрической форме (для 2

Для -функции, определяемой производной, имеем для d2 и для d=2

ln g β(g) d=1 d=3 d=2

Оценка g L через «ускорение» уровней d=3d=3

В одномерном случае

Оценка g L через «ускорение» уровней d=3d=3

d=2

S. Waffenschmidt, C. Pfleiderer, H. V. Loehneysen, Phys. Rev. Lett. 83, 3005 (1999). Критическое поведение

Сравнение с теорией возмущений Разложение функций H(z) и H T (z) где Откуда для β -функций

Разложение из σ -моделей для d=2 где. Пересчитывая к той же форме наш результат видим, что коэффициент при t 4 зависит от деталей определения g L, т.е. ренормировочной схемы. Замена переменных позволяет привести два результата к одинаковому виду.

Переход к размерности d=2+ε производится в схеме размерной регуляризации Точный результат возможен только для тривиальной функции. Если теория Вольхардта – Вольфле является точной, то формализм размерной регуляризации несовместим с физической сутью проблемы. Подтверждающие аргументы:

О наблюдении закона Березинского Локализационный закон для проводимости получен теоретически почти 40 лет назад: но никогда не наблюдался экспериментально. Его наблюдение возможно в закрытых системах примерно при тех же условиях, что наблюдение незатухающего тока в геометрии Ааронова-Бома:

L