Действительные числа Проект ученицы 10 «Г» класса Котоусовой Александры Учитель Кузьмичева Татьяна Дмитриевна Татьяна Дмитриевна

Содержание: Натуральные и целые числа Натуральные и целые числа Натуральные и целые числа Натуральные и целые числа Рациональные числа Рациональные числа Рациональные числа Рациональные числа Иррациональные числа Иррациональные числа Иррациональные числа Иррациональные числа Множество действительных чисел Множество действительных чисел Множество действительных чисел Множество действительных чисел Модуль действительного числа Модуль действительного числа Модуль действительного числа Модуль действительного числа

Натуральные и целые числа Числа, используемые для счета предметов, т.е. числа 1,2,3,4,…,называют натуральными числами. Натуральные числа можно складывать и перемножать – в результате получится натуральное число. Операции же вычитания и деления на множестве натуральных чисел выполнимы не всегда: например, разность 3-5 не является натуральным числом. Более широкий класс чисел составляют целые числа. К ним относятся натуральные числа, число 0 и числа -1,-2,-3,…. Над целыми числами выполнимы операции сложения, умножения и вычитания. Натуральные числа также называют целыми положительными числами, а если к множеству натуральных чисел добавить число 0, то получим множество неотрицательных целых чисел. Множество натуральных чисел иногда обозначается буквой N, множество целых чисел – буквой Z. Иногда для множества натуральных чисел более удобным оказывается обозначение Z +,а для множества целых отрицательных чисел Z -.

Натуральные и целые числа Вместо фразы «n – натуральное число» используется запись n є N, а вместо фразы «m – целое число» - запись m є Z. Вообще в математике запись x є X читают так: элемент x принадлежит множеству X,т.е. является элементом множества X. Знак є называют знаком принадлежности. Понятно, что множество натуральных чисел представляет собой часть множества целых чисел. Для описания этой ситуации также имеется специальное обозначение: N Z. Вообще в математике запись А В означает, что множество А представляет собой часть множества В. Впрочем, в этом случае чаше говорят так: множество А является подмножеством множества В. Знак называют знаком включения.

Делимость натуральных чисел Определение 1. Пусть даны два натуральных числа – a и b. Если существует натуральное число q, такое, что выполняется равенство a=bq, то говорят, что число a делится на число b. При этом число a называют делимым, b – делителем, q – частным. Число a также называют кратным числа b. Вместо фразы «a делится на b» часто используется запись a b. Она означает, что число a делится на число b нацело, то есть без остатка. Речь идет лишь о принципиальной возможности выполнить деление, а само деление не требуется выполнять. Опираясь на сформулированное определение, можно получить ряд свойств отношения делимости на множестве натуральных чисел. Свойство 1. Если a с и с b, то a b. Например, из того, что 48 6 и 6 3, можно сделать вывод, что Свойство 2. Если a b и c b, то (a + c) b. Например, из того, что 12 3 и 21 3, можно сделать вывод, что ( ) 3. Свойство 3. Если a b и c не делится на b, то (a + c) не делится на b. … … … ……… ……… ……… … …

Делимость натуральных чисел Например, из того, что 12 3 и 22 не делится на 3, можно сделать вывод, что ( ) не делится на 3. В то же время из того, что каждое слагаемое не делится на b, нельзя сделать вывод, что и сумма не делится на b. Свойства 2 и 3 распространяются на сумму любого конечного числа слагаемых следующим образом: если каждое слагаемое делится на число b, то и сумма делится на b; если каждое слагаемое, кроме одного, делится на b, то сумма не делится на b. Свойство 4. Если a b и (a + c) b, то c b. Например, из того, что 12 3 и ( ) 3 можно сделать вывод, что Свойство 5. Если a b 1 и c b 2, то ac b 1 b 2. Например, из того, что 12 3 и 28 7, можно сделать вывод, что (12*28) (3*7). Свойство 6. Если а b и с – любое натуральное число, то ac bc; если ac bc, то a b. Например, из того, что 12 3, можно сделать вывод, что (12*5) (3*5) и обратно. Свойство 7. Если а b и с – любое натуральное число, то ac b. Например, из того, что 12 3, можно сделать вывод, что (12*5) 3. Свойство 8. Если a с и с b, то для любых натуральных чисел n и k справедливо соотношение (an + ck) b. Например, из того, что 12 3 и 21 3, можно сделать вывод, что (25* *21) 3. ……… ……… ……… ……… … ……… … …… …… …… … …… …

Делимость натуральных чисел Свойство 9. Среди n последовательных натуральных чисел одно и только одно делится на n. Пример 1. Доказать, что для любого натурального числа n число n 5 - 5n 3 +4n делится на 2, 3, 4, 5, 8. Решение: Разложим многочлен n 5 -5n 3 +4n на множители: n 5 -5n 3 +4n= n(n 4 - n 2 +4)=n(n 2 (n 2 -1)-4(n 2 -1))= n(n 2 -1)(n 2 -4)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2). Рассмотрим полученное произведение. При n=1,n=2 оно обращается в 0, значит, делится на 2,3,4,5,8. При n>2 имеем произведение пяти последовательных натуральных чисел n-1, n-2, n, n+1, n+2. Из этих пяти чисел по свойству 9,одно обязательно делится на пять, хотя бы одно – на три, хотя бы одно – на четыре и кроме того есть хотя бы одно четное число. Тогда по свойствам 5 и 7, произведение этих пяти чисел делится на 2,3,4,5 и на произведение чисел 2 и 4, т.е. делится на 8.

Признаки делимости Признак делимости на 2. Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2. Признак делимости на 2. Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2. Признак делимости на 5. Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (т.е. цифра единиц либо 0, либо 5). Признак делимости на 5. Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (т.е. цифра единиц либо 0, либо 5). Признак делимости на 10. Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0. Признак делимости на 10. Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы цифра единиц была 0. Признак делимости на 4. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами числа p. Признак делимости на 4. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двумя последними цифрами числа p. Признак делимости на 25. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее трех цифр, делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами числа p. Признак делимости на 25. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее трех цифр, делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними цифрами числа p.

Признаки делимости Признак делимости на 8. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами числа p. Признак делимости на 8. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами числа p. Признак делимости на 125. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами числа p. Признак делимости на 125. Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами числа p. Признак делимости на 3. Для того чтобы натуральное число p делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Признак делимости на 3. Для того чтобы натуральное число p делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Признак делимости на 9. Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Признак делимости на 9. Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Простые и составные числа Определение 2. Если натуральное число имеет только два делителя – самого себя и 1, - то его называют простым числом; если оно имеет более двух делителей, то его называют составным числом. Число 1, имеющее лишь один делитель – 1, не относят ни к простым, ни к составным. Определение 2. Если натуральное число имеет только два делителя – самого себя и 1, - то его называют простым числом; если оно имеет более двух делителей, то его называют составным числом. Число 1, имеющее лишь один делитель – 1, не относят ни к простым, ни к составным. Свойство 10. Любое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель. Свойство 10. Любое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель. Доказательство. Если a – простое число, то а=а*1, откуда следует, что у заданного числа есть простой делитель а. Пусть теперь а – составное число. Тогда его можно представить в виде а=а 1 с 1, где оба множителя отличны от 1 и меньше а. Если хотя бы один из множителей – простое число, то свойство доказано. Если оба множителя – составные числа, то рассмотрим число а 1 и представим его в виде а 1 =а 2 с 2, где оба множителя отличны от 1 и меньше а 1. Если хотя бы один из множителей – простое число, то свойство доказано, если нет, то представим a2 в виде произведения чисел, меньших чем а 2, и т.д. Тогда либо на каком-то шаге обнаружится простой множитель, либо придется предположить, что процесс составления чисел а 1, а 2, а 3, а 4 и т.д. бесконечен. Но бесконечным он быть не может, поскольку все указанные числа меньше а, а потому их – конечное множество. Значит на каком-то шаге обнаружится простой делитель числа а. Доказательство. Если a – простое число, то а=а*1, откуда следует, что у заданного числа есть простой делитель а. Пусть теперь а – составное число. Тогда его можно представить в виде а=а 1 с 1, где оба множителя отличны от 1 и меньше а. Если хотя бы один из множителей – простое число, то свойство доказано. Если оба множителя – составные числа, то рассмотрим число а 1 и представим его в виде а 1 =а 2 с 2, где оба множителя отличны от 1 и меньше а 1. Если хотя бы один из множителей – простое число, то свойство доказано, если нет, то представим a2 в виде произведения чисел, меньших чем а 2, и т.д. Тогда либо на каком-то шаге обнаружится простой множитель, либо придется предположить, что процесс составления чисел а 1, а 2, а 3, а 4 и т.д. бесконечен. Но бесконечным он быть не может, поскольку все указанные числа меньше а, а потому их – конечное множество. Значит на каком-то шаге обнаружится простой делитель числа а.

Простые и составные числа Теорема 1. Множество простых чисел бесконечно. Теорема 1. Множество простых чисел бесконечно. Доказательство. Предположим противно, что множество простых чисел конечно. Выпишем все простые числа:p 1, p 2, p 3,…,p k. Составим теперь число а следующим образом: а =p 1 p 2 p 3 *…*p k +1. По свойству 10, у числа а есть хотя бы один простой делитель, т.е. число а делится на одно из чисел p 1, p 2, p 3,…,p k. Но p 1 p 2 …, p k делится на каждое из чисел p1,p2 …, p k, а 1 не делится ни на одно из этих чисел, значит, по свойству 3 число а не делится ни на одно из этих чисел. Получили противоречие. Следовательно, сделанное предположение неверно, т.е. на самом деле множество простых чисел бесконечно.

Деление с остатком Теорема 1. Для любых натуральных чисел а и b существует одна и только одна пара целых неотрицательных чисел q и r, такая, что r

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел Рассмотрим два числа: 72 и 96. Выпишем все делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Выпишем все делители числа 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Среди выписанных чисел есть одинаковые: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 – их называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из них называют наибольшим общим делителем (НОД) чисел 72 и 96. Рассмотрим два числа: 72 и 96. Выпишем все делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Выпишем все делители числа 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Среди выписанных чисел есть одинаковые: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 – их называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из них называют наибольшим общим делителем (НОД) чисел 72 и 96. Определение 3. Два натуральных числа – a и b – называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1; иными словами, если НОД(а,b) = 1. Определение 3. Два натуральных числа – a и b – называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1; иными словами, если НОД(а,b) = 1. Если даны натуральные числа а и p, причем p – простое число, то либо а делится на p, либо а и p – взаимно простые числа. Если даны натуральные числа а и p, причем p – простое число, то либо а делится на p, либо а и p – взаимно простые числа. Рассмотрим два числа: 12 и 18. Выпишем кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …. Выпишем кратные числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, …. Среди выписанных чисел есть одинаковые: 36, 72, 108, 144,… - их называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел 12 и 18. Рассмотрим два числа: 12 и 18. Выпишем кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, …. Выпишем кратные числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, …. Среди выписанных чисел есть одинаковые: 36, 72, 108, 144,… - их называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел 12 и 18.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел Свойство 11. Если К - общее кратное чисел a и b, то К НОК(a,b). Свойство 11. Если К - общее кратное чисел a и b, то К НОК(a,b). Свойство 12. Если a b 1 и a b 2, то a НОК(b 1,b 2 ). Свойство 12. Если a b 1 и a b 2, то a НОК(b 1,b 2 ). Свойство 13. Если a b 1 и a b 2 и числа b 1 и b 2 - взаимно простые, то Свойство 13. Если a b 1 и a b 2 и числа b 1 и b 2 - взаимно простые, то a b 1 b 2. a b 1 b 2. Свойство 14. Если a с и b с, то - общее кратное чисел а и b. Свойство 14. Если a с и b с, то - общее кратное чисел а и b. Пример. Доказать, что для любого натурального числа n справедливо соотношение (n 5 - 5n 3 +4n ) 120. Решение. Выше, в примере 1, было доказано, что многочлен n 5 - 5n 3 +4n делится на 2, 3, 4, 5, 8. Тогда, по свойству 12, он делится на НОК чисел 2, 3, 4, 5, 8, т.е. на 120. примере 1 примере 1 Теорема 3. Для любых натуральных чисел a и b справедливо равенство НОК(a,b)*НОД(a,b)=ab. Следствие. Если числа a и b взаимно простые, то НОК(a,b)=ab. Свойство 15. Если числа a и p взаимно простые и ac p, то с p. Свойство 15. Если числа a и p взаимно простые и ac p, то с p. Свойство 16. Если p – простое число и ac p, то хотя бы одно из чисел a,с делится на p. Свойство 16. Если p – простое число и ac p, то хотя бы одно из чисел a,с делится на p. … ……… …… … …… … … … …

Основная теорема арифметики натуральных чисел Основной теоремой арифметики называют совокупность двух утверждений: Теорема 4. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители. Теорема 4. Любое натуральное число (кроме 1) либо является простым, либо его можно разложить на простые множители. Теорема5. Если натуральное число разложено на простые множители, то такое разложение единственно; иными словами, любые два разложения числа на простые множители отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Теорема5. Если натуральное число разложено на простые множители, то такое разложение единственно; иными словами, любые два разложения числа на простые множители отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Пример. Разложить на простые множители число: 3780 Пример. Разложить на простые множители число: 3780Решение: Итак, 3780=2 2 *3 3 *5* Итак, 3780=2 2 *3 3 *5*

Рациональные числа Рациональные числа – это числа вида, где m – целое число, а n – натуральное число. Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q. Выполняется соотношение Z Q. Итак, можно сказать, что рациональные числа – это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби. Для рациональных чисел кроме указанной выше записи можно использовать другой вид записи, который мы обсудим ниже. Рассмотрим, например, обыкновенную дробь. Воспользуемся методом «деления углом»: Рациональные числа – это числа вида, где m – целое число, а n – натуральное число. Множество рациональных чисел принято обозначать буквой Q. Выполняется соотношение Z Q. Итак, можно сказать, что рациональные числа – это все целые числа, а также положительные и отрицательные обыкновенные дроби. Для рациональных чисел кроме указанной выше записи можно использовать другой вид записи, который мы обсудим ниже. Рассмотрим, например, обыкновенную дробь. Воспользуемся методом «деления углом»: 7,000000… 23 7,000000… ,31818… 66 0,31818… … Начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: 18, 18, 18,…. Таким образом, = 0, …. Короче это записывают так: 0,3(18). Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь – бесконечной десятичной периодической дробью. Вообще любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодичной дроби. Например, 5 = 5,(0); 8,377 = 8,377(0). Верно и обратное: любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.

Рациональные числа Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: 1,(23). Пример. Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь: 1,(23). Решение. Пусть x = 1,(23), т.е. x = 1,232323…. Умножим x на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Получим: 100x = 123,232323…. Решение. Пусть x = 1,(23), т.е. x = 1,232323…. Умножим x на такое число, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на один период. Получим: 100x = 123,232323…. Следовательно, 100x = 123,232323… x = 1,232323… x = 1,232323… 100x – x = 123,232323… - 1,232323…, 100x – x = 123,232323… - 1,232323…, т.е. 99x = 122, откуда находим: x = = 1. 1.Если период дроби начинается сразу после запятой, то дробь называют чисто-периодической, если не сразу после запятой, - смешанно-периодической. 2.Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители содержатся лишь числа 2 и 5, то запись числа в виде десятичной дроби представляет собой конечную десятичную дробь; если в указанном разложении есть другие простые множители, то получится бесконечная десятичная дробь. в виде десятичной дроби представляет собой конечную десятичную дробь; если в указанном разложении есть другие простые множители, то получится бесконечная десятичная дробь.

1.Если несократимая дробь такова, что в разложении ее знаменателя на простые множители не содержатся числа 2 и 5, то запись числа в виде десятичной дроби представляет собой чисто-периодическую десятичную дробь; если в указанном разложении, наряду с другими простыми множителями, есть 2 или 5, то получится смешанно-периодическая десятичная дробь. 2.У периодической десятичной дроби период может быть любой длины, т.е. может содержать любое количество цифр. Вообще справедливо утверждение: правильная дробь вида, где в знаменателе содержится n девяток, представляется в виде чисто-периодической дроби 0,(00…0m), где в (…) – n цифр. 3.Если смешанно-периодическая дробь имеет вид 0,00…0(m), где k нулей и n цифр в периоде, то ее представление в виде обыкновенной дроби таково:, где в знаменателе n девяток и k нулей., где в знаменателе n девяток и k нулей. 1.Периодическую дробь с девяткой в периоде можно заменить конечной десятичной дробью. Например, 0,72(9) = 0,72 + 0,00(9)=0,72 + 0,01= 0,73. 2.Используя указанные факты, можно предложить дугой способ обращения бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь. Например: 1,5(23) = 1,5 + 0,0(23) = 1 + = 1

Иррациональные числа Не все числа, с которыми приходится встречаться в математике являются рациональными. В математике не принято говорить нерациональное число, обычно используют термин «иррациональное число». Не все числа, с которыми приходится встречаться в математике являются рациональными. В математике не принято говорить нерациональное число, обычно используют термин «иррациональное число». Пример. Доказать, что - иррациональное число. Решение. Предположим, что - рациональное число. Ясно, что это не натуральное число, а потому =, где n>1 и - несократимая дробь; значит, числа m и n взаимно простые. Так как =, то = 5, т.е. m 2 =5n 2. Последнее равенство означает, что m 2 n 2, и, следовательно, по свойству 1, m 2 n, т.е. m*m n. Теперь воспользуемся свойством 15. Согласно этому свойству, если произведение двух чисел делится на n и один из множителей взаимно прост с n, второй множитель делится на n. Получается, что m n. Но ведь мы предполагали, что дробь несократимая. Получили противоречие, значит, неверной была исходная посылка, будто бы есть несократимая дробь, для которой верно равенство = 5. Вывод: такой дроби нет, поэтому - иррациональное число. свойству 1свойством 15свойству 1свойством 15 … …… …

Иррациональные числа Рассмотрим иррациональное число. Оно заключено между числами 2 и 3, поскольку 2 2 =4, что меньше 5, а 3 2 =9, что больше 5. Можно уточнить: 2,2 5. Можно продолжить уточнения оценок числа. Выполняется равенство: = 2,236…. Иррациональное число выражается бесконечной десятичной непериодической дробью. Рассмотрим иррациональное число. Оно заключено между числами 2 и 3, поскольку 2 2 =4, что меньше 5, а 3 2 =9, что больше 5. Можно уточнить: 2,2 5. Можно продолжить уточнения оценок числа. Выполняется равенство: = 2,236…. Иррациональное число выражается бесконечной десятичной непериодической дробью. Ничего определенного о результате арифметических операций над иррациональными числами сказать нельзя. Например, - иррациональное число, а * = 5 – рациональное число; и - иррациональные числа, но их произведение, т.е. - иррациональное число. То же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел. Но если в операции участвуют одно рациональное и одно иррациональное число, то «пересилит» иррациональное число. Ничего определенного о результате арифметических операций над иррациональными числами сказать нельзя. Например, - иррациональное число, а * = 5 – рациональное число; и - иррациональные числа, но их произведение, т.е. - иррациональное число. То же относится к сложению, вычитанию, делению иррациональных чисел. Но если в операции участвуют одно рациональное и одно иррациональное число, то «пересилит» иррациональное число. Поскольку операция извлечения корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения корня, называть иррациональным. Поскольку операция извлечения корня из положительного числа часто приводит к иррациональным числам, условились алгебраическое выражение, в котором присутствует операция извлечения корня, называть иррациональным.

Множество действительных чисел. Действительные числа и числовая прямая. Если множество рациональных чисел объединить с множеством иррациональных чисел, то получится множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (- ;+ ). Множество действительных чисел можно описать так: это множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей. Если множество рациональных чисел объединить с множеством иррациональных чисел, то получится множество действительных чисел. Множество действительных чисел обычно обозначают буквой R; используют также символическую запись (- ;+ ). Множество действительных чисел можно описать так: это множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей. Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка М координатной прямой имеет действительную координату. Каждое действительное число можно изобразить точкой на координатной прямой. Верно и обратное: каждая точка М координатной прямой имеет действительную координату. Пример: Пример: 0 1 М(x) Пусть точка М(x) находится на отрезке 0;1 координатной прямой. Разделим отрезок на 10 равных частей, назовем их сегментами первого ранга. Предположим, что М 1. Это значит, что x=0,1…. Разделим отрезок 1 на 10 равных частей – это сегменты второго ранга. Предположим, что М 10. Это значит, что x=0,10…. Так постепенно находят последовательные знаки бесконечной десятичной дроби, служащей координатой точки М.

Действительные числа и числовая прямая. Математики обычно говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; поэтому для координатной прямой часто используют термин числовая прямая. Математики обычно говорят так: между множеством R действительных чисел и множеством точек координатной прямой установлено взаимно однозначное соответствие. Координатная прямая есть геометрическая модель множества действительных чисел; поэтому для координатной прямой часто используют термин числовая прямая. Для действительных чисел a, b, c выполняются привычные законы: a + b = b + a; ab = ba; a + (b + c) = (a + b) +c; a(bc) = (ab)c; Для действительных чисел a, b, c выполняются привычные законы: a + b = b + a; ab = ba; a + (b + c) = (a + b) +c; a(bc) = (ab)c; (a +b)c = ac + bc и т.д. Выполняются и привычные правила: Выполняются и привычные правила: -Произведение двух положительных чисел – положительное число; -Произведение двух отрицательных чисел - положительное число; -Произведение положительного и отрицательного числа – отрицательное число.

Числовые неравенства Действительные числа можно сравнивать друг с другом, используя следующее определение. Определение. Говорят, что действительное число а больше (меньше) действительного числа b, если их разность a – b – положительное (отрицательное) число. Пишут: а > b(a b(a < b). Используют знаки неравенств: > - больше; - больше; < - меньше; - больше или равно; - меньше или равно. Числовые неравенства обладают рядом свойств. Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c. Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c. Свойство 2. Если a > b, то a + c > b + c. Свойство 2. Если a > b, то a + c > b + c. Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > mb; если a > b и m b и m > 0, то am > mb; если a > b и m < 0, то am < mb. Смысл свойства 3 заключается в следующем: если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить; если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить. Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. Свойство 5. Если a, b, c, d – положительные числа и a > b, c > d, то Свойство 5. Если a, b, c, d – положительные числа и a > b, c > d, то ac > bd.

Числовые неравенства Обычно неравенства вида a > b, c > d ( или a b, c b, c > d ( или a b, c < d – неравенствами противоположного смысла. Свойство 5 означает, что при умножении неравенств одинакового смысла, у которых левые и правые части – положительные числа, получится неравенство того же смысла. Свойство 6. Если a и b – неотрицательные числа и a > b, то a n > b n, где n – любое натуральное число. Смысл свойства 6 имеет следующий смысл: если обе части неравенства – неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства. Свойство 6. Если a и b – неотрицательные числа и a > b, то a n > b n, где n – любое натуральное число. Смысл свойства 6 имеет следующий смысл: если обе части неравенства – неотрицательные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства. Дополнение к свойству 6. Если n – нечетное число, то для любых чисел a и b из неравенства a > b следует неравенство того же смысла a n > b n. Дополнение к свойству 6. Если n – нечетное число, то для любых чисел a и b из неравенства a > b следует неравенство того же смысла a n > b n. Пример. Пусть a и b – положительные числа и a > b. Доказать, что Пример. Пусть a и b – положительные числа и a > b. Доказать, что >. >. Решение. Рассмотрим разность -. Имеем: - =. По условию, a, b, a – b - положительные числа. Следовательно, - отрицательное число, т.е. - < 0, откуда следует, что

Числовые промежутки Всякое множество, состоящее из действительных чисел, называют числовым множеством. Среди числовых множеств выделяют числовые промежутки. Возьмем 2 числа – а и b(пусть a a и x a и x

Модуль действительного числа Определение. Модулем неотрицательного действительного числа x называют само это число: |x| = x; модулем отрицательного действительного числа x называют противоположное число: |x| = -x. Определение. Модулем неотрицательного действительного числа x называют само это число: |x| = x; модулем отрицательного действительного числа x называют противоположное число: |x| = -x. Короче записывают так: Короче записывают так: Например, |5|=5; |-5|=5 Например, |5|=5; |-5|=5 Свойства модулей: Свойства модулей: 1.|а| 0. 2.|аb|= |а| |b| |а| 2 =а 2. 5.|а|= |-а|. 6.|а| а. 7.|а +b| |а|+ |b|. |x| = x, если x 0; -x, если xa, оно равно a -b, если a>b, наконец, оно равно нулю, если a=b. x x ааbb Все три случая охватываются одной формулой: |а -b| p(a, b) = |а -b|

Модуль действительного числа Пример. Решить неравенство: |x - 2| < 3; Решение. Переведем аналитическую модель |x - 2| < 3 на геометрический язык: нам надо найти на координатной прямой такие точки x, которые удовлетворяют условию p(x, 2) < 3, т.е. удалены от точки 2 на расстояние, меньшее, чем 3. На расстояние, равное 3, удалены от точки 2 точки -1 и 5. Следовательно, решениями интересующего нас неравенства являются все числа из интервала (-1;5). p(x, 2) < 3, т.е. удалены от точки 2 на расстояние, меньшее, чем 3. На расстояние, равное 3, удалены от точки 2 точки -1 и 5. Следовательно, решениями интересующего нас неравенства являются все числа из интервала (-1;5). x 25