лекция 3 для студентов 1 курса, обучающихся по специальности – Лечебное дело К.п.н., доцент Шилина Н.Г. Красноярск, 2014 Тема: Основы математической статистики. Проверка статистических гипогтез Кафедра медицинской и биологической физики

План лекции: 1.Закономерности нормального распределения. Кривая нормального распределения и ее характеристики 2.Точечные и интервальные оценки 3.Генеральная и выборочная совокупности 4.Сравнение теоретических и эмпирических распределений 5.Основные этапы исследования

Нормальный закон распределения случайных величин Нормальное распределение возникает тогда, когда на изменение случайной величины действует множество различных независимых факторов, каждый из которых в отдельности не имеет преобладающего значения. Главная особенность - это предельный закон, к которому при определенных условиях стремятся другие законы распределения

Говорят, что X имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами μ и σ, где μ R, σ>0, если X имеет следующую плотность распределения: дифференциальная функция распределения

Функция распределения вероятностей интегральная функция распределения

Кривая нормального распределения (Гаусса)

Функция распределения вероятностей

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует математическое ожидание (среднее арифметическое) случайной величины, являясь центром распределения и наиболее вероятным значением. Изменение математического ожидания не влияет на форму кривой, а только вызывает ее смещение вдоль оси x. Пример: Рост в группе Л101-M(x)=170 см, σ=5 см Л102-M(x)=175 см, σ=5 см

Пример:

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: Параметр характеризует изменчивость случайной величины (меру растянутости кривой вдоль оси x): чем больше, тем больше кривая растянута. Пример: Рост в группе Л101-M(x)=170 см, σ=5 см Л132-M(x)=170 см, σ=10 см

Пример: σ=10 σ=5

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: График нормальной кривой симметричен относительно прямой x= (одинаковые по абсолютной величине отрицательные и положительные отклонения случайной величины от центра равновероятны). По мере увеличения разности (x– ) значение f(x) убывает. Это значит, что большие отклонения менее вероятны, чем малые. При (x– ) значение f(x) стремится к нулю, но никогда его не достигает.

ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ: По мере увеличения разности (x– ) значение f(x) убывает. Это значит, что большие отклонения менее вероятны, чем малые. При (x– ) значение f(x) стремится к нулю, но никогда его не достигает. Рис.1. Кривая нормального распределения

Функция нормального закона функция плотности распределения вероятностей функция распределения вероятностей

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от а до b: причем Ф(–t) = 1– Ф(t) Характеристики кривой: Коэффициент асимметрии Показатель эксцесса

КОЭФФИЦИЕНТ АСИММЕТРИИ А>0 - правоасимметричные, А

ПОКАЗАТЕЛЬ ЭКСЦЕССА f(x) Х Для нормального распределения показатели А=0 и Е=0

Задача: Записать функции нормального закона для распределения студентов по росту: M(X)=170 см; σ=5 см

Нормальное распределение с параметрами M(x)=0 и σ=1 называется стандартным N 0,1 (нормированным нормальным распределением) Функция плотности распределения вероятностей Функция распределения вероятностей

Нормированное отклонение: Нормированным отклонением называется отклонение случайной величины x,от её математического ожидания, выраженное в единицах σ

Найти нормированное отклонение для x=166 см, если M(x)=170 см, σ=5 см. -0,8σ

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от - до x: Функция F(x) не выражается через элементарные функции, но для нее составлены таблицы, которые называются таблицами нормального интеграла вероятности

Вероятность попадания значения случайной величины в интервал от а до b: причем Ф(–t) = 1– Ф(t) =Ф(t 2 )-Ф(t 1 )

Задача: Найти вероятность попадания случайной величины в интервал от 155 см до 160 см если M(x)=a=170 см, σ=5 см. Ф(-2)-Ф(-3)=(1-Ф(2))-(1-Ф(3))=(1-0,9772)-(1-0,9986)= 0,0228-0,0014=0,0214 (2,14%)

Точечные оценки случайной величины: Математическое ожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание дискретной случайной величины (среднее значение) равно сумме произведений значений, принимаемых этой величиной, на соответствующие им вероятности: М(x)=x 1 Р 1 + x 2 Р x n P n =

Дисперсия дискретной случайной величины это математическое ожидание квадрата соответствующего отклонения случайной величины x от ее математического ожидания: D(x) = M [x – M(x)] 2 или

Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическое ожидание Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение для дискретной и непрерывной случайной величины

Интервальные оценки нормированное отклонение х – μ=σt 1σ – 68,3%; 2σ – 95,5%; 3σ – 99,7% всех вариант Закон 3 : в пределах 3σ находится 99,7% всех вариант

Доверительные вероятности и доверительные интервалы Вероятности 0,95 и 0,99 (95% и 99%) – доверительные вероятности Δх=± t – доверительный интервал Доверительным называется интервал, в который попадает случайная величина с заданной вероятностью ВероятностиИнтервалы 0,95 1,96 0,99 2,58 0,999 3,03

Уровни значимости Определенным значениям доверительных вероятностей соответствуют так называемые уровни значимости ( ). Уровень значимости обозначает вероятность выхода случайной величины за пределы доверительного интервала. Если доверительную вероятность обозначить – Р, а уровень значимости –, то =1 – Р.

Доверительные вероятности Уровни значимости 0,950,05 0,990,01 0,9990,001

95% доверительный интервал

Задача: Найти доверительный интервал для роста студентов с вероятностью p=0,95 ( =0,05); M(x)=170 см, σ=5 см Δх=1, см Следовательно, рост студентов находится в интервале:

Генеральная и выборочные совокупности Наиболее общую совокупность, подлежащих изучению объектов называют генеральной. Выборка считается репрезентативной, если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, то есть все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Сравнительная характеристика Характеристики Совокупность ГенеральнаяВыборочная Математическое ожидание Среднее квадратическое отклонение s Средняя квадратическая ошибка (стандартная ошибка) значение генеральной средней с доверительным интервалом

Сравнение теоретических и эмпирических распределений Нулевая гипотеза. Согласно этой гипотезе первоначально принимается, что между эмпирическим и теоретическим распределением признака в генеральной совокупности достоверного различия нет.

Средние квадратические ошибки s А (асимметрии) и s Е (эксцесса) Для достаточно большой выборки (n>30), если показатели асимметрии (А) и эксцесса (Е) в два и более раза превышают показатели их средних квадратических ошибок, гипотезу о нормальности распределения нужно отвергнуть.

Сравнение теоретических и экспериментальных распределений по: а) критерию Колмогорова – Смирнова, б) критерию Пирсона. Пунктирная линия – эмпирическое распределение, сплошная – теоретическое распределение.

Критерий Пирсона где m i – экспериментальные частоты попадания значения случайной величины в интервал, np i – теоретические частоты.

Число степеней свободы – это общее число величин, по которым вычисляются соответствующие статистические показатели, минус число тех условий, которые связывают эти величины, то есть уменьшают возможности вариации между ними. Число степеней свободы определяется по следующей формуле: df=k–r–1, где k – число интервалов, r – число параметров предполагаемого распределения. Для нашего случая r=2, следовательно, df=k–3. По заданному уровню значимости ( ) и числу степеней свободы df, находим критическое значение 2 кр (,df). Если 2 эмп < 2 кр гипотеза о согласии эмпирического и теоретического распределения подтверждается.

Основные этапы исследования: Сгруппировать исследуемый ряд по классам. Подсчитать середины интервалов и частоты попадания в интервал. Построить гистограмму и полигон распределения. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график. Вычислить числовые (точечные) характеристики распределения. Найти интервальные оценки для генеральной средней. Проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по нормальному закону, используя критерий Пирсона 2.

Заключение Нами рассмотрены: Основные параметры нормального распределения; Понятие доверительной вероятности и доверительного интервала; Нулевая гипотеза и ее применение для сравнения теоретического и практического распределений.

Тест-контроль Доверительная вероятность равна 0,999, тогда уровень значимости равен: 1.0, , ,01 4.0,1

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Обязательная: 1. Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для мед.вузов. М.: ГЭОТАР-Медиа Дополнительная: Математика в примерах и задачах: учебное пособие /Л.Н.Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В.Никонова и др., М.: ИНФРА-М Шаповалов К.А. Основы высшей математики: учебное пособие. Красноярск: Печатные технологии Математика: метод. указания к внеаудит. работе для студ. по спец. – педиатрия /сост. Л.А.Шапиро и др. Красноярск: тип.КрасГМУ Электронные ресурсы: Электронная библиотека Absotheue Электронная библиотека Colibris Ресурсы интернет

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ