Лекция 5Слайд 1 Темы лекции 1.Ядерная и электронная тормозная способность и их связь с удельными потерями энергии при движении ионов в твердом теле. 2.Расчет тормозных способностей ионов для кулоновского и экранированного кулоновского потенциалов взаимодействия. 3.Расчет тормозных способностей для соединений.

Лекция 5Слайд 2 Ион M 1, Z 1, движущийся в твердом теле, состоящем из атомов M 2, Z 2. При взаимодействии иона с атомами происходит передача части его энергии атомам, т.е. ион тормозится в твердом теле. В каждый рассматриваемый момент энергия иона равна Е, причем по мере его движения Е уменьшается. * – полное (проинтегрированное по всем возможным переданным энергиям) сечение процесса, сопровождающегося передачей энергии от движущегося иона атомам твердого тела. Если d *(E 2 ) – дифференциальное сечение передачи энергии в диапазоне E 2 dE 2, то где E 2min – минимально возможная переданная энергия ионом в процессе взаимодействия, E 2max – максимально возможная переданная энергия.

Лекция 5Слайд 3 Выделим в твердом теле объем с площадью основания * и высотой dl, направленной вдоль траектории движения иона. Концентрация объектов, с которыми взаимодействует ион – n*. В выделенном объеме находится n* * dl объектов (рассеивающих центров). Если – средняя энергия, передаваемая рассеивающему центру в однократном процессе взаимодействия при движении иона в выделенном объеме, то на участке траектории dl ионом будет передана энергия (ион потеряет энергию) dE 2 = – n* *dl. Удельные потери энергии ионом вдоль траектории * траектория dl m 1 Z 1

Лекция 5 Слайд 4 По теореме о среднем Удельные потери энергии ионом вдоль траектории Размерность удельных потерь энергии эВ/Å или эВ/нм. Для интеграла используется специальное название – тормозная способность вещества, соответствующая потерям энергии на единицу пути в веществе с единичной концентрацией рассеивающих центров.

Лекция 5Слайд 5 Упрощающие рассмотрение предположения : 1.Твердое тело представляет собой набор атомов с атомной концентрацией n 0, не образующих кристаллическую решетку. 2.Следуя Нильсу Бору, будем рассматривать потери энергии ионом как сумму двух независимых процессов, идущих одновременно: взаимодействие с ядрами атомов, ("ядерное" или "упругое" взаимодействие, подстрочный индекс "n"), в ходе этого процесса происходит также изменение направления движения иона; взаимодействие с электронами атомов твердого тела, сопровождающееся ионизацией атомов и возбуждением их электронной подсистемы ("электронное" или "неупругое" взаимодействие, построчный индекс "е"), в ходе этого процесса направления движения иона не меняется, так как m e

Лекция 5Слайд 6 В этих предположениях связь между удельными потерями энергии вдоль траектории и тормозной способностью Для того чтобы получить конкретный вид d *(E 2 ) необходимо знать потенциал взаимодействия. Кулоновский потенциал. Применим для быстрых легких ионов (водород, гелий с энергией ~ МэВ). Дифференциальное сечение по переданной энергии в случае кулоновского потенциала имеет вид:

Лекция 5Слайд 7 Ядерная тормозная способность при энергии иона равной Е E 2max = 4 Е/(1 + ) 2. Точное значение E 2min не очень существенно, единственное требование E 2min 0. Для дальнейших расчетов примем E 2min = E d = 10 эВ – средняя энергия смещения атома из положения равновесия. Ядерная тормозная способность Рассеивающие центры - ядра, n* = n 0. Ядерные удельные потери энергии

Лекция 5Слайд 8 Торможение на электронах в 1-ом приближении можно рассматривать как рассеяние иона на электронах. При таком рассмотрении потенциал взаимодействия U(r) = Z 1 e 2 /r. Кроме того, = m 1 /m e >> 1. Максимально возможная переданная энергия E 2max = 4 Е/(1 + ) 2 4Е/ = 4Еm e /m 1. Для вычисления E 2min примем, что в результате взаимодействия иона с электроном переданная ему энергия больше энергии связи, т.е. рассеяние иона на атомном электроне сопровождается ионизацией атома. Введем в рассмотрение среднюю энергию ионизации атома (усредненную по всем оболочкам) 11,6 Z 2 эВ. При таком подходе E 2min =

Лекция 5Слайд 9 В нашем рассмотрении не учитывалась возможность возбуждения электронной подсистемы атома. Если учесть эту возможность (для этого необходимы существенно более сложные рассмотрения), то электронная тормозная способность Рассеивающими центрами являются электроны, n* = n 0 Z 2. Электронные удельные потери энергии

Лекция 5 Слайд 10 Так как E = m 1 v 2 /2, где v – скорость иона Электронная тормозная способность должна быть положительной величиной, поэтому под знаком логарифма должна стоять величина > 1. Оценим, при каких энергиях иона выполняется это требования. Для ионов гелия (Z 1 = 2, М 1 = 4), движущихся в олове (Z 2 = 50 – середина таблицы Менделеева) получаем условие E > /4(m e /m 1 ) 1 МэВ, т.е. условие применимости кулоновского потенциала.

Лекция 5 Слайд 11 Оценим, вклад каких потерь является преобладающим. Для этого вычислим отношение (dE/dl) n /(dE/dl) e при одной и той же энергии Е. Для всех элементов кроме водорода отношение Z 2 /М 2 ½. Кроме того, m 1 = М 1 m а.е.м., где m а.е.м. = 1, г и отношение m е /m а.е.м Для оценки возьмем М 1 = 4, Е = 2 МэВ, Е d = 10 эВ. Тогда оцениваемое отношение можно представить в виде функции от Z 2

Лекция 5 Слайд 12 График этой функции Практически для всех элементов таблицы Менделеева, за исключением трансурановых элементов, отношение (dE/dl) n /(dE/dl) e В области применимости кулоновского потенциала преобладающий вклад вносят электронные потери энергии и с большой точностью ядерными потерями можно пренебречь. Z2Z2 f(Z2)f(Z2)

Лекция 5 Слайд 13 Экранированный кулоновский потенциал Используем выражение для Линдхардовского сечения рассеяния. Дифференциальное сечение по переданной энергии. E 2 = 4M 1 M 2 Ecos 2 /(M 1 + M 2 ) 2. Угол отдачи = ( – )/2. Энергия Е может быть записана через приведенную энергию Линдхарда Е = Z 1 Z 2 e 2 (M 1 + M 2 )/aM 2. Т.к. Линдхарадовская переменная t = 2 sin 2 ( /2), то т.е. прямо пропорциональна t, остальные члены являются параметрами, определяемыми конкретной парой ион-атом и энергией иона. Поэтому Линдхардовское сечение рассеяния является также сечением по переданной энергии. dE 2 = 4M 1 Z 1 Z 2 e 2 /(M 1 + M 2 ) dt

Лекция 5 Слайд 14 при t = 2 переданная энергия E 2 = 4M 1 M 2 E/(M 1 + M 2 ) 2 = E 2max, при t 1/2 = 0 E 2 = 0 = E 2min (для экранированного кулоновского потенциала формального ограничения для E 2min нет). Ядерная тормозная способность в экранированном кулоновском потенциале Приведенная ядерная тормозная способность Зависимость от Е входит в зависимость от Е.

Лекция 5 Слайд 15 Ядерные удельные потери энергии Аппроксимация Юдина Электронная тормозная способность Фирсов для Z 1 Z 2 > 10 ЛШШ В обоих случаях электронная тормозная способность ~ скорости иона

Лекция 5 Слайд 16 Если перейти к приведенной энергии, то по аналогии с ядерной, электронную тормозную способность можно записать в виде приведенная (безразмерная) электронная тормозная способность s e определяется не только величиной, но и атомными номерами и массами взаимодействующих иона и атома (k e ), поэтому при одинаковых приведенных энергиях для разных пар ион-атом будут получаться различные значения s e.

Лекция 5 Слайд 17 Красная линия, аппроксимация Юдина – синяя линия, зависимость для Z 1 = 18, M 1 = 39,95 (Ar) и Z 2 = 14, M 2 = 28,09 (Si) – черная линия. Приведенная ядерная тормозная способность имеет ярко выраженный максимум при 0,25. Для обратноквадратичного потенциала U(r) = (Z 1 Z 2 e 2 /r) (0,416а/r) (функция экранирования Нильсен) s n = 0,327 (красная штриховая линия). Для этого потенциала ядерная тормозная способность также как и ядерные удельные потери энергии не зависит от энергии иона. s

Лекция 5 Слайд 18 Если образец – сплав или соединение, состоящий из N элементов, равномерно распределенных по его объему (однородный образец) и относительная концентрация каждого элемента C i = n i /n 0 (n i – атомная концентрация i-го элемента, n 0 – атомная концентрация всех элементов в образце, причем всегда n i = n 0 ), то в этом случае используются два альтернативных подхода для вычисления S и dE/dl. Средний атомный номер Правило Брэгга Если S i – тормозная способность i-го элемента, вычисленная по общим правилам, то для многоэлементного образца тормозная способность