Третий признак равенства треугольников

Равные треугольники Определение 1: треугольники называются равными, если при наложении они совпадают. А В С А1А1 В1В1 С1С1 АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1 В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и, наоборот, против равных углов – равные стороны. АВС = А 1 В 1 С 1 А = А 1, В = В 1, С = С 1 А В С

Необходимость Определение 2: два треугольника называются равными, если стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого треугольника и углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника. Для того, чтобы выяснить, равны ли треугольники или нет, нужно рассмотреть 6 равенств: выяснить про все стороны (3 пары) и про все углы(3 пары). Признак содержит в два раза меньше равенств, позволяющих установить равенство треугольников.

Третий признак равенства треугольников Теорема: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. АВ = А 1 В 1 BС = B 1 С 1 АС = А 1 С 1 А1А1 С1С1 В1В1 А С В Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1

Доказательство: С1С1 В1В1 А1А1 Приложим АВС к А 1 В 1 С 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1, вершина В – с вершиной В 1 ( это возможно, т. к. АВ = А 1 В 1 по условию) 1 случай: луч С 1 С проходит внутри А 1 С 1 В 1 С В А Т. к. по условию АС = А 1 С 1, то А 1 С 1 С – равнобедренный, значит, А 1 С 1 С = А 1 СС 1 Т. к. по условию ВС = В 1 С 1, то В 1 С 1 С – равнобедренный, Значит, В 1 С 1 С = В 1 СС 1 Но А 1 С 1 В 1 = А 1 С 1 С + В 1 С 1 С и АСВ = А 1 СС 1 + В 1 СС 1 Получим: А 1 С 1 В 1 = АСВ и по условию А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС Значит, по двум сторонам и углу между ними треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны.

Доказательство: 2 случай: луч С 1 С совпадает с одной из сторон угла А 1 С 1 В 1 C C1C1 А 1 (А) В 1 (В) Значит, по двум сторонам и углу между ними треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны. Т. к. по условию АС = А 1 С 1, то А 1 С 1 С – равнобедренный, значит, А 1 С 1 С = А 1 СС 1 Получим: А 1 С 1 В 1 = АСВ и по условию А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС

Доказательство: C C1C1 B 1 (B) A 1 (A) 3 случай: луч С 1 С проходит вне А 1 С 1 В 1 Т. к. по условию АС = А 1 С 1, то А 1 С 1 С – равнобедренный, значит, А 1 С 1 С = А 1 СС 1 Т. к. по условию ВС = В 1 С 1, то В 1 С 1 С – равнобедренный, Значит, В 1 С 1 С = В 1 СС 1 Но А 1 С 1 В 1 = B 1 С 1 С - A 1 С 1 С и АСВ = B 1 СС 1 - A 1 СС 1 Получим: А 1 С 1 В 1 = АСВ и по условию А 1 С 1 = АС, В 1 С 1 = ВС Значит, по двум сторонам и углу между ними треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны.

Реши задачу: 1. Являются ли равными треугольники? А В С М Р О да

Реши задачу: 2. да А В С Е К Х Являются ли равными треугольники?

Реши задачу: 3. Назови равные треугольники. А В С К

Реши задачу: 4. Дано: FNQR - прямоугольник Назови равные треугольники. F NQ R О

Реши задачу: 5. М РО Е Назови равные треугольники. Дано: МР = ЕО МО = ЕР

Реши задачу: 6. А В С Н Доказать: АН = СН О

Реши задачу: 7. Доказать: КРЕ = КМЕ, ЕТ – биссектриса МРЕ, РТ – высота КРЕ. Р М К Е Т

тест 1.Чтобы доказать равенство двух равнобедренных треугольников, достаточно доказать равенство: 1) оснований 2) боковых сторон 3) оснований и боковых сторон 3 2.Какое высказывание неверное? 1) Если периметры равносторонних треугольников равны, то равны и треугольники. 2) Если периметры равнобедренных треугольников равны, то равны и треугольники. 3) Периметры равных равнобедренных треугольников равны Верно, что… 1) если сумма двух сторон и периметр одного треугольника соответственно равны сумме двух сторон и периметру другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) если две стороны и периметр одного треугольника соответственно равны двум сторонам и периметру другого треугольника, то такие треугольники равны. 2

Решение задачи АВС и А 1 В 1 С 1 – равнобедренные треугольники с основаниями АC и А 1 С 1. Точки М и М 1 – середины сторон ВС и В 1 С 1, АВ = А 1 В 1, АМ = А 1 М 1. Докажите, что АВС = А 1 В 1 С 1. Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 – равнобедренные, АВ = А 1 В 1 ВМ = МС, В 1 М 1 = М 1 С 1, АМ = А 1 М 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 Доказательство: А В С М А1А1 В1В1 С1С1 М1М1 1. Рассмотрим треугольники АВМ и А 1 В 1 М 1 Т, к. треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 – равнобедренные, то АВ = ВС, А 1 В 1 = В 1 С 1, но АВ = А 1 В 1 по условию, значит, ВС = В 1 С 1 Т. к. ВМ = МС и В 1 М 1 = М 1 С 1 по условию, а ВС = В 1 С 1 по доказанному, то ВМ = В 1 М 1 АМ = А 1 М 1 по условию, значит, по трём сторонам АВМ = А 1 В 1 М 1 2. Рассмотрим АВС и А 1 В 1 С 1 Из равенства треугольников АВМ и А 1 В 1 М 1 следует, что В = В 1 и по условию АВ = А 1 В 1, по доказанному ВМ = В 1 М 1, значит, по двум сторонам и углу между ними АВС = А 1 В 1 С 1, что и т. д.

Михайлова Л. П. ГОУ ЦО 173.