1

2b a b Три случая взаимного расположения прямых в пространстве n m l p nm lpII a

3 ПланиметрияСтереометрия Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются aIIb

4 Две прямые в пространстве называются параллельными, если 1) они лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются a b Определение Определение Показать (1)

5 a b aIIb с Прямые а и с не параллельны Показать (2) Прямые b и с не параллельны

6 Две параллельные прямые определяют плоскость. (определение параллельных прямых) a b Показать (1)

7 Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. a b Определение ОпределениеАВ СD АВ II СD mn FL FL II n Показать (2) FL Отрезок FL параллелен n прямой n АВ и СD Отрезки АВ и СD параллельны

8 А Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Повторим. Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности. а b Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых

9 Теорема Теорема Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. М a b Прямая и не лежащая на ней точка определяют плоскость Показать (2)

10. Основное свойство параллельности прямых Теорема. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной и только одна. Дано: А b. Доказать: !a | A a и а || b. Доказательство. 1) ! | A и b ; 2) !a | A a и а || b. 3) Пусть c | A c и c || b, тогда, так как с, то с. = A, значит, с b – противоречие. Следовательно, а – единственная

11 Следствие. Две параллельные прямые определяют единственную плоскость. ! | A и b, тогда a

12 Повторим. Повторим. Следствие из аксиомы параллельности. а c b Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b, c b c a Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых

13 Верно ли, что (AD) || (BC)

14 Q А С В D N M P Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и АС. Р MNQP - ? 12 см 14 см

15 Лемма Лемма Если одна из двух параллельных прямых Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость. прямая пересекает данную плоскость. М Показать (2)ab?

16 М ab Плоскости и имеют общую точку М, значит они пересекаются по прямой (А 3 ) Прямая р лежит в плоскости и пересекает прямую а в т. М. р Поэтому она пересекает и параллельную ей прямую b в некоторой точке N. Прямая р лежит также в плоскости, поэтому N – точка плоскости. Значит, N – общая точка прямой b и плоскости. N

17 Проверить (3) Прямые, содержащие стороны АВ и ВС параллелограмма AВСD пересекают плоскость. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость.СА О D Каково взаимное расположение точек О, Р, М, N? Р М N В

18 а b с Повторим. Повторим. Следствие из аксиомы параллельности. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с a II b Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.

19 a b с Теорема Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с Докажем, что a II b К а 1) Точка К и прямая а определяют плоскость. аb Докажем, что а и b 1)Лежат в одной плоскости 2) не пересекаются b Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. b са а Допустим, что прямая b пересекает плоскость. Тогда по лемме с также пересекает. По лемме и а также пересекает. Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости 2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.

20 Дано: АА 1 II СС 1, АА 1 II ВВ 1, ВВ 1 = СС 1 Доказать, что В 1 С 1 = ВС А В1В1 С А1А1 В С1С1 Проверка

21 Дано: А 1 С 1 = АС, А 1 С 1 II АС, А 1 В 1 = АВ, А 1 В 1 II АВ Доказать, что CС 1 = ВB 1 А В1В1 С А1А1 В С1С1 Проверка

22 А В С Е F K M Треугольник АВС и квадрат АEFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF. Найдите КМ, если АЕ=8см. 8см

23 А В С С D K M Квадрат АВСD и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что КL II BC. Найдите BC, если KL=10см, MN= 6 см. N L 10см 6 см

24 Отрезок АВ не пересекается с плоскостью. Через концы отрезка АВ и его середину (точку М) проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А 1, В 1 и М 1. а) Докажите, что точки А 1, В 1 и М 1 лежат на одной прямой. б) Найдите АА 1, если ВВ 1 = 12см, ММ 1 =8см. А М В Проверка В1В1 А1А1 M1M1