Первый признак равенства треугольников

Равные треугольники Определение 1: треугольники называются равными, если при наложении они совпадают. А В С А1А1 В1В1 С1С1 А В С АВС = А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1 А = А 1, В = В 1, С = С 1 В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и, наоборот, против равных углов – равные стороны.

Необходимость Для того, чтобы выяснить, равны ли треугольники или нет, нужно рассмотреть 6 равенств: выяснить про все стороны (3 пары) и про все углы(3 пары). Признак содержит в два раза меньше равенств, позволяющих установить равенство треугольников. Определение 2: два треугольника называются равными, если стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого треугольника и углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника.

Назови АВ С Углы между сторонами: АВ и АС А АВ и СВ В АС и ВС С

Первый признак равенства треугольников Теорема: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 АВ = А 1 В 1 АС = А 1 С 1 А = А 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 А С В А1А1 С1С1 В1В1

Доказательство ( методом наложения ): В А С А1А1 С1С1 В1В1 Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы луч АВ совместился с лучом А 1 В 1,, Т. к. АВ = А 1 В 1 по условию, то Значит, вершины А и А 1 совместятся. стороны АВ и А 1 В 1 совместятся. Значит, вершины В и В 1 совместятся. Т. к. А = А 1 по условию и лучи АВ, А 1 В 1 совмещены, то и лучи АС, А 1 С 1 совместятся. Т. к. АС = А 1 С 1 по условию, то совместятся и вершины С и С 1. Значит, стороны треугольников совместятся и, следовательно, треугольники при наложении совпадают, значит, они равны.

Реши задачу: А В С У Н Е Являются ли треугольники АВС и ЕНУ равными ? да

Реши задачу: Будут ли треугольники равными, если: А В С 7 5 А1А1 В1В1 С1С

М О Р Н У Х Реши задачу: Будут ли треугольники равными, если: 2.

Реши задачи: А Е Р М К Х Будут ли равными треугольники АЕР и МХК, если: 1) АЕ = МХ, АР = МК, А = М ? 2) ЕР = КХ, АЕ = МХ, Е = Х ? 3) АР = МК, АЕ = МХ, Р = К ? да нет

Тест 1.Треугольники АВС и А 1 В 1 С 1 равны, если: а) АВ = А 1 В 1, ВС = В 1 С 1, А = А 1 б) АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1, С = С 1 в) А = А 1, В = В 1, С = С 1 б 2. Дано: АВС и НКМ, АС = НМ, А = Н. Для доказательства равенства треугольников АВС и НКМ достаточно доказать, что а) АВ = НК б) С = К в) ВС = КМ а 3. Дано: АРК и УСЕ, АК = ЕУ, А = У. Для доказательства равенства треугольников АРК и УСЕ достаточно доказать, что а) АР = СУ б) АР = ЕУ в) АР = СЕ а

Решение задачи Дано: ОА = ОС, 1 = 2 Доказать: АВ = ВС Доказательство: 1. 1 = 2 по условию, значит, АОВ = СОВ ( как углы, смежные к равным углам) 2. Рассмотрим АОВ и СОВ. В них АO = OС по условию, ОВ – общая сторона, АОВ = СОВ по доказанному, значит, АОВ = СОВ по двум сторонам и углу между ними, а в равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны, следовательно. АВ = ВС, что и т. д. 1 2 А В С О

Решение задачи А ВО С Е Дано: О – середина АВ, О – середина СЕ, АС = 7 см Найти: ВЕ Решение: 1.Т. к. О –середина АВ по условию, значит, АО = ОВ. Т. к. О –середина СЕ по условию, значит, СО = ОЕ 2. АОС и ВОЕ – вертикальные, значит, АОС = ВОЕ 3. Рассмотрим АОС и ВОЕ. По доказанному: АО = ОВ, СО = ОЕ, АОС = ВОЕ, значит, АОС = ВОЕ по двум сторонам и углу между ними,.следовательно, ВЕ = АС = 7 см. Ответ: ВЕ = 7 см.

Решение задачи На одной стороне угла с вершиной А отмечены точки М и В, на другой стороне – С и Е так, что АМ = АС, АВ = АЕ. Докажите, что ВС = ЕМ. Дано: АМ = АС, АВ = АЕ Доказать: ВС = ЕМ Доказательство: Рассмотрим АВС и АЕМ А - общий АВ = АЕ по условию АМ = АС по условию Значит, по двум сторонам и углу между ними АВС = АКМ В равных треугольниках против равных углов лежат и равные стороны, значит, ВС = ЕМ. М А В С Е

Реши задачу: 3.3. A B C O K Доказать: ВО – биссектриса АВС

Реши задачу: Найти: ЕНМ, если МНР = м Р Н Т Е

Реши задачу: 5. С А В К Доказать: К – середина АВ

Реши задачу: 6. А С В М Доказать: ВС = АМ В = М

Реши задачу: 7.7. Будут ли треугольники равными, если: S F HN V M D

Реши задачу: 8.8. C A R T Q Будут ли треугольники равными, если:

Реши задачу: Назови равные треугольники: Дано: FNSR - прямоугольник О F N S R a b 9.

Реши задачу: 10. А В С К О Дано: АВСК - квадрат Назови равные треугольники:

Михайлова Л. П. ГОУ ЦО 173.