Второй признак равенства треугольников

Равные треугольники Определение 1: треугольники называются равными, если при наложении они совпадают. А В С А1А1 В1В1 С1С1 АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1, ВС = В 1 С 1 В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и, наоборот, против равных углов – равные стороны. АВС = А 1 В 1 С 1 А В С А = А 1, В = В 1, С = С 1

Необходимость Определение 2: два треугольника называются равными, если стороны одного треугольника равны соответственно сторонам другого треугольника и углы одного треугольника равны соответственно углам другого треугольника. Для того, чтобы выяснить, равны ли треугольники или нет, нужно рассмотреть 6 равенств: выяснить про все стороны (3 пары) и про все углы(3 пары). Признак содержит в два раза меньше равенств, позволяющих установить равенство треугольников.

Назови A B C Углы, прилежащие к стороне: АВ ВС АС A и B А и С В и С

Второй признак равенства треугольников Теорема: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны Дано: АВС и А 1 В 1 С 1 AB = A 1 B 1 A = A 1 B = B 1 Доказать: АВС = А 1 В 1 С 1 А В С А1А1 В1В1 С1С1

Доказательство ( методом наложения) : Значит, вершины А и А 1 совместятся. Т. к. АВ = А 1 В 1 по условию, то Наложим АВС на А 1 В 1 С 1 так, чтобы луч АВ совместился с лучом А 1 В 1 стороны АВ и А 1 В 1 совместятся. Значит, вершины В и В 1 совместятся. Т. к. А = А 1 по условию и лучи АВ, А 1 В 1 совмещены, то и лучи АС, А 1 С 1 совместятся. Т. к. B = B 1 по условию и вершины В и В 1 совмещены, то и лучи ВА, В 1 А 1 совместятся, также совместятся лучи ВС и В 1 С 1. Значит, стороны треугольников совместятся и, следовательно, треугольники при наложении совпадают, значит, они равны. Значит, точки пересечения С и С 1 совмещённых лучей также совместятся В A А1А1 В1В1 С1С1 С

Реши задачу: Являются ли треугольники АВС и ЕНУ равными ? Е У Н С А В да

Реши задачу: А Е Р М К Х Будут ли равными треугольники АЕР и МХК, если: 1) ЕР = КХ, Е = Х, А = М нет 2) АЕ = МХ, А = М, Х = Е да 3) АР = МК, А = М, МХ = АЕ да

Реши задачу: 1. Доказать: АВD = CDB AD = BC AB = CD D B C A

Реши задачу: 2. O M P K E Доказать: МР = КЕ О – середина МЕ М = Е

Реши задачу: 20 см 3. Доказать: АВ = ВС Найти Р АВС, если ВС = 6см, АН = 4см А В С Н

Реши задачу: 4. Доказать: АВ = СМ АМ = ВС В = М АС ВМ

Решение задачи Дано: ВС = КС 1 = 2 Доказательство: Рассмотрим треугольники АВС и ЕКС 1 и АВС – смежные, значит, АВС = и ЕКС – смежные, значит, ЕКС = = 2 по условию, значит, АВС = ЕКС ВК = КС по условию АСВ и КСЕ – вертикальные, значит, АСВ = КСЕ Значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам АВС = ЕКС, что и т. д. Доказать: АВС = ЕКС А В Е С 1 К 2

Решение задачи Дано: АК = СР 1 = 2 ВАС = Р Е = 90 0 ЕР = 15 дм Найти высоту АМС, проведённую из АРешение: Рассмотрим треугольники АВС и РЕК АС = АК + КС, РК = СР + КС, но АК = СР по условию, значит, АС = РК ВАС = Р по условию, АСВ = РКЕ как смежные к равным по условию углам: 1 = 2 Значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам АВС = РЕК Из равенства этих треугольников следует, что В = Е и АВ = ЕР Т. к. Е = 90 0 по условию, то В = 90 0, т. е. АВ ВС Т. к. ЕР = 15дм по условию, то и АВ = 15дм.Значит, АВ – высота АМС. ВЕ А К Р 12 М С Ответ: 15 дм

Реши задачу: АВС – равнобедренный Доказать: АОС - равнобедренный A C B O М ВМ – медиана АВС ОМ – высота АОС

Реши задачу: 5. Дано: АС = ВС А = В Доказать: АКС = ВЕС А Е В С К

Реши задачу: 6. Дано: МР = 15 см, ОР = 15 см М = О Доказать: ОХ = МТ М Р О Х Т

Михайлова Л. П. ГОУ ЦО 173.