РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Орлова Л.В., Малышкина С.Ю. вероятность

Основные понятия. Событие - явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Эксперимент (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений). Исходом называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный эксперимент.

ДОСТОВЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ Происходят при каждом проведении опыта (Солнце всходит в определенное время, тело падает вниз, вода закипает при нагревании и т.п.). Происходят в определенных условиях, но при каждом проведении опыта: одни происходят чаще, другие реже (бутерброд чаще падает маслом вниз и т.п.). НЕВОЗМОЖНЫЕ

Тест 1. О каком событии идёт речь? Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения 30 февраля. А) достоверное; В)невозможное; С) случайное. Ответ. В

Тест 2. Это событие является случайным: А) слово начинается с буквы «ь»; В) ученику 8 класса 14 месяцев; С) бросили две игральные кости: сумма выпавших на них очков равна 8. Ответ. С

Тест 3. Найдите достоверное событие: А) На уроке математики ученики делали физические упражнения; В) Сборная России по футболу не станет чемпионом мира 2006 года; С) Подкинули монету и она упала на «Орла». Ответ. В

Определение Вероятность события (Р(А)) – это численная мера объективной возможности его появления. Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.

Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа. Пьер-Симон Лаплас

ЭКСПЕРИМЕНТ ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ЭКСПЕРИМЕНТА (n) СОБЫТИЕ А ЧИСЛО ИСХОДОВ, БЛАГОПРИЯТ- НЫХ ДЛЯ ЭТОГО СОБЫТИЯ (m) ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ А Р(А)=m/n Бросаем монетку 2 Выпал «орел» 1 Вытягиваем экзаменаци - онный билет Вытянули билет Бросаем кубик На кубике выпало четное число 6 3 Играем в лотерею Выиграли, купив один билет

Задача 1. В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется: а) белой; б) желтой; в) не желтой. Решение. а) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 3. Вероятность равна:P=3:9=1/3=0,33(3) б) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 2. Вероятность равна P=2:9=0,2(2) в) Мы имеем всевозможных случаев 9. Благоприятствующих событий 7 (4+3). Вероятность равна P=7:9=0,7(7)

Задача 2. В коробке лежат 10 одинаковых шаров, на каждом из которых написан его номер от 1 до 10. Найдите вероятность следующих событий: а) извлекли шар 7; б) номер извлеченного шара – четное число; в) номер извлеченного шара кратен 3. Решение. Мы имеем всевозможных случаев 10. а) Благоприятных 1. Вероятность P=1:10=0,1 б) Шаров с четными номерами 5 (2,4,6,8,10). Вероятность равна P=5:10=0,5 в) Благоприятных 3.(3,6,9). Вероятность равна P=3:10=0,3

Задача 3. В урне находятся 3 синих, 8 красных и 9 белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны? Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С обозначить события, состоящие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а через m 1, m 2, m 3 -числа благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m 1 =3, m 2 =8, m 3 =9. Поэтому P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.

Задача 4. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой? Решение. На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит, n = 10, m = 1. P (A) = 1/10

Задача 5. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»? Решение. Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов. По правилу умножения n = 4 * 3 * 2 *1 = 24. Событие А - после открытия карточек получится слово «КРОТ»; m = 1. (только один вариант расположения букв – «КРОТ») P (A) = 1/24.

Свойства вероятности. 1. Вероятность достоверного события равна 1 2. Вероятность невозможного события равна Вероятность события А не меньше 0, но не больше 1.

Статистическая вероятность Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведённых испытаний N. Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.

Задача 1 По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку? Решение: Событие А- купить неисправную лампочку P(A)=3/1000 = 0,003 Вероятность купить исправную лампочку равна 1 – 0,003 = ,997

Задача 2. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0,012. В скольких случаях из рождений можно ожидать появление близнецов? Решение: Ответ: в 120 случаях.

Задача 3. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. Учитель истории знает, что 3 девочки и 5 мальчиков из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске – мальчика или девочку? Решение: Общее число исходов для девочек равно 10, для мальчиков – 20. Благоприятных исходов для девочек – 3, для мальчиков – 5, значит для девочек Р(А)=3/10, для мальчиков-5/20=1/4. Так как 3/10 >1/4, поэтому лучше вызвать девочку.

Проверь себя! Вероятностью Р наступления случайного события А называется… Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой? (Ответ. 1/10) Вероятность попадания Андреем по мишени из винтовки равна 0,7. Какова вероятность того, что Андрей промахнётся, сделав выстрел? (Ответ. 0,3) Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30 выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота попадания по цели в данной серии выстрелов? Ответ: 13/15