Презентацию составили Ученицы 10 «А» класса Оя Анна и Гребенюк Надежда

Из биографии Н. И. Лобачевского О геометрии Лобачевского Создание неевклидовой геометрии Утверждение геометрии Лобачевского Модель Псевдосфера Модель Клейна Модель Пуанкаре Из биографии Н. И. Лобачевского О геометрии Лобачевского Создание неевклидовой геометрии Утверждение геометрии Лобачевского Модель Псевдосфера Модель Клейна Модель Пуанкаре

Родился в Нижнем Новгороде в семье мелкого служащего. Почти вся его жизнь связана с Казанским университетом, в который он поступил по окончании гимназии в По окончании университета в 1811 стал математиком, в 1814 адъюнктом, в 1816 экстраординарным и в 1822 ординарным профессором. Дважды ( и гг.) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 ректором университета. По его инициативе были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет. Создал первую неевклидовую геометрию, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Николай Иванович Лобачевский ( )

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

Евклидова аксиома о параллельных гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её. В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики вообще.

Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829) ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Одновременно и независимо к аналогичным выводам ещё раньше пришёл Карл Фридрих Гаусс. Однако Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так отзывается о работе Лобачевского: «Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее «воображаемой геометрией»; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе…» В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист этой теории.

Лобачевский умер в 1856 году. Спустя несколько лет была опубликована переписка Гаусса, в том числе несколько восторженных отзывов о геометрии Лобачевского, и это привлекло внимание к трудам Лобачевского. Появляются переводы их на французский и итальянский языки, комментарии видных геометров. В 1868 году выходит статья Э. Бельтрами об интерпретациях геометрии Лобачевского. Бельтрами определил метрику плоскости Лобачевского и доказал, что она имеет всюду постоянную отрицательную кривизну. Такая поверхность тогда уже была известна это псевдосфера Миндинга. Бельтрами сделал вывод, что локально плоскость Лобачевского изометрична участку псевдосферы. Окончательно непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана в 1871 году, после появления модели Клейна. Вейерштрас посвящает геометрии Лобачевского специальный семинар в Берлинском университете (1870). Казанское физико-математитеческое общество организует издание полного собрания сочинений Лобачевского, а в 1893 году столетие русского математика отмечается в международном масштабе.

В математике и логике моделью какой-либо системы аксиом называют любую совокупность объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют данным аксиомам, служащим тем самым совместным определением такой совокупности.

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны, простейший пример которых представляет псевдосфера. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере.

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. Плоскостью служит внутренность круга, прямой хорда круга без концов, а точкой точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, b, b').

Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.

%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80% D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B1% D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D 0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE %D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80% D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B1% D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D 0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия (2006 год)