Непрерывность на отрезке Непрерывность на интервале Непрерывность в точке.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Предел и непрерывность функции одной переменной. Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки.
Advertisements

Предел функции Второй замечательный предел Бесконечно малые функции Непрерывность функции в точке Точки разрыва функции Основные теоремы о непрерывных.
Сравнение бесконечно малых. Определения. Пусть - бесконечно малые при Тогда: –1. Если, то говорят, –что бесконечно малая имеет более –высокий порядок малости,
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Предел функции (свойства пределов, бесконечно большие и их свойства,
Бер Л.М. Введение в анализ ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег.282 от Предел функции по Гейне Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой.
Таблица эквивалентностей. Пусть функции таковы, что в некоторой проколотой окрестности точки a, Доказать, что.
§4. Непрерывность функции 1. Основные определения Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(x) называется непрерывной.
Company Logo Односторонние пределы Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х x 0 слева, если для любого >0 существует.
Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот.
Лектор Белов В.М г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Бесконечно большие последовательности Предел функции (определение и свойства.
Введение Пределы и непрерывность 1. Определение предела функции. 2. Односторонние пределы. 3. Бесконечно малые и бесконечно большие. 4. Теоремы о пределах.
Company Logo Предел функции по Коши Пусть функция у = f(x) определена в окрестности точки x 0. В самой точке x 0 функция может быть.
{ определение непрерывности функции в точке - пример - классификация точек разрыва – примеры функции, непрерывные на множестве - свойства непрерывных функций.
Предел и непрерывность функции одной переменной. Понятие функции Функцией называется отношение, при котором каждому элементу множества X соответствует.
Свойства пределов. 1. Ограниченность функции, имеющей предел. –Определение. –Функция называется ограниченной на множестве D, если –Теорема. Пример. Функция.
КАКАЯ ФУНКЦИЯ НАЗЫВАЕТСЯ НЕПРЕРЫВНОЙ В ТОЧКЕ? Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х 0, если она определена в этой точке и её окрестности и.
Предел и непрерывность функции.. Бесконечно малая и бесконечно большие величины. Переменная величина α называется бесконечно малой, если она изменяется.
Теорема 1 Производная суммы (разности) двух функций, каждая из которых имеет производную, равна сумме (разности) производных этих функций.
Учебное пособие по дисциплине «Элементы высшей математики» Преподаватель: Французова Г.Н.
Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть.
Транксрипт:

Непрерывность на отрезке Непрерывность на интервале Непрерывность в точке

Функция называется равномерно непрерывной на интервале (a,b), Равномерная непрерывность Определение. если для всякого существует такое что для любых точек удовлетворяющих условию верно неравенство

Пример. равномерна непрерывна

Непрерывность на Равномерная непрерывность на Непрерывность на Равномерная непрерывность на

Пример. непрерывна, но не равномерна непрерывна не равномерна непрерывна на

Пример. непрерывна, но не равномерна непрерывна не равномерна непрерывна на

Теорема 23 (Кантор) Если функция непрерывна на отрезке [a,b], равномерно непрерывна на этом отрезке. то она равномерно непрерывна на

Доказательство. «от противного» по теореме Больцано-Вейерштрасса

Доказательство. по определению Гейне по условию по т. о предельном переходе в неравенствах ! равномерна непрерывна на

Сравнение бесконечно малых функции Пусть - б.м.ф. при Если предел («альфа равно о малое от бета») то является б.м. более высокого порядка, чем

Пример. - б.м.ф. при

Если предел Б.м. функции одного порядка то называются б.м. функциями одного порядка.

Пример. - б.м.ф. при б.м.ф. одного порядка.

Если отношение Не сравнимые б.м. функции при не имеет предела, ни конечного, ни бесконечного, то говорят, что б.м. при функции не сравнимы.

Пример. - б.м.ф. при не сравнимы. не существует не является б.б.ф. при

не сравнимы б.м.ф. одного порядка более высокого порядка б.м.ф.

Порядок малости Если предел то б.м. при функция имеет порядок малости относительно основной б.м. при функции Определение.

Пример. - б.м.ф. при при имеет порядок малости относительно б.м. функции

Эквивалентные б.м.ф. Две бесконечно малые при функции - б.м. функции одного порядка. равны асимптотически при Определение. называются эквивалентными, если предел их отношения в точке a равен единице:

Свойства отношения эквивалентности Эквивалентность Рефлексивность Симметричность Транзитивность

Примеры. - б.м.ф. при

Основные эквивалентности б.м.ф.

Таблица эквивалентностей

Главный степенной член функции Если для функции можно подобрать числа такие, что то говорят, что есть главный степенной член функции функция Определение.

Замена б.м.ф. эквивалентными Пустьб.м.ф. при причём Если в точке имеет конечныйили бесконечный предел, то он не изменится призамене на Теорема 24. отношение

б.м.ф. при Замена б.м.ф. эквивалентными Теорема 24.

Доказательство. С - конечное С - бесконечное по теореме о пределе произведения

Пример. Вычислить по тереме о замене б.м.ф.

Условие эквивалентности Теорема 25. Для того, чтобы б. м. при функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы при была б.м.ф. более высокого порядка, чем они сами.

Условие эквивалентности Теорема 25. б.м.ф. при

Доказательство. Необходимость. Достаточность. по т. о пределе разности +(1) по т. о пределе суммы +(2)

Символы о и О (символы Ландау)

Пусть функции определены в окрестности кроме, быть может, самой точки, причём Говорят, что есть о-малое от если Определение о-малое

бесконечно малая по сравнению с определение

Примеры.

Говорят, что если существует число М>0 и окрестность есть О-большое от такие, что Определение О-большое

определение О-большое

Примеры.

Формулы

определение Эквивалентные или асимптотически равные функции

Асимптотические формулы