Предел и непрерывность функции одной переменной

Бесконечно малые функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a. Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при x, стремящемся к a, если

Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при или, если или Определение б.м.ф. на бесконечности

Примеры. б.м.ф. при

Свойства бесконечно малых функций

Теорема 5 (сумма б.м.ф.) Если - б.м.ф. при, есть также б.м.ф. при то их сумма

Доказательство: б.м.ф. при Функция б.м.ф. при Функция б.м.ф. при

Теорема 6 (произведение б.м.ф. на ограниченную функцию) Если функция является б.м.ф. при а функция f(x) ограничена в окрестности точки a, есть б.м.ф. при то произведение

Доказательство: - ограничена в окрестности точки a. - б.м.ф. при

Пример. - б.м.ф. при -ограничена в любой проколотой окрестности точки x=0. - б.м.ф. при

Следствие. Если - б.м.ф. при а функция f(x) имеет конечный предел в точке a, то произведение - б.м.ф. при

Лемма. Если функция f(x) в точке x=a имеет предел, отличный от нуля, то функция - ограничена в окрестности точки x=a.

Доказательство: - ограничена в проколотой окрестности точки x=a. определена и

Теорема 7 Если - б.м.ф. при а функция f(x) в точке x=a имеет предел, отличный от нуля, то частное - есть б.м.ф. при

Доказательство: - ограничена в проколотой окрестности точки x=a. имеет конечный предел в точке x=a. - б.м.ф. при

Теорема 8(связь функции, имеющей предел, с её пределом и бесконечно малой функцией) Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x=a, кроме, быть может, самой точки a. Для того, чтобы число А было пределом функции f(x) при, необходимо и достаточно, чтобы f(x) можно было представить в виде суммы Где - б.м.ф. при

Необходимость. Положим и докажем, что - б.м.ф. при Достаточность. - б.м.ф. при для тех же значений x.

Теорема 9 ( арифметические операции над пределами) Пусть функция и определены в окрестности точки x=a, кроме, быть может, самой точки a. Если и имеют пределы в точке x=a, то имеют пределы также их сумма, разность, произведение и частное при условии, причём

Доказательство. где - б.м.ф. при

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Определение бесконечно большой функции Пусть функция определена в окрестности точки a, кроме, быть может, самой точки a. Если для любого, как угодно большого, числа M>0 существует такое число, что для всех, удовлетворяющих условию выполняется неравенство То функцию f(x) называют бесконечно большой функцией при

f(x) – б.б.ф. f(x) – положительная б.б.ф. f(x) – отрицательная б.б.ф.

Пример. Функция Решение.

Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых функций. Если и в некоторой окрестности точки a, кроме, быть может самой точки a,, то функция И, наоборот, если то

Следовательно, Обозначим Доказательство. Пусть Обратное утверждение доказывается аналогично.

Односторонние пределы Пусть функция f(x) определена только слева (или только справа) от а, т.е. в интервале х а). Определение 1. Число а называется левосторонним пределом функции f(x) при (х < а), если Определение 2. Число а называется правосторонним пределом функции f(x) при (х >а), если

дробно-линейная функция Примеры.

Теорема Для того, чтобы функция f(x) имела предел в точке a, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы функции f(x) в точке a справа и слева и они были равны между собой.

Доказательство. Обратно,

Предел функции (продолжение) Бесконечно малые функции. Сумма б.м.ф., произведение б.м.ф. на ограниченную, частное б.м.ф. и функции, имеющей предел в точке. Связь функции, имеющей предел, с её пределом и б.м.ф. Арифметические операции над пределами. Бесконечно большие функции. Связь между б.м.ф. и б.б.ф. Односторонние пределы.