Реферат по геометрии Авторы: Козлова Юлия Мижурко Мария ученицы 11 класса Руководитель: Бахмач Галина Иванова

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, важнейшим методом решения задач из этой области является метод сечений. Этот метод оказывает значительное влияние на развитие пространственных представлений и пространственного мышления. В геометрии данные задачи можно разделить на три группы: 1. Построение сечения в многоугольнике и вычисление его пощади. 2. Нахождение расстояния между двумя точками, между точкой и прямой, между точкой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми. 3. Вычисление угла между двумя прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями В нашей работе мы покажем различные методы решения задач третьей группы. Задачи этой группы делятся на три подгруппы: Задачи на вычисление угла между двумя прямыми Задачи на вычисление угла между прямой и плоскостью Задачи на вычисление угла между плоскостями

I. Задачи на вычисление угла между прямыми. Угол между двумя прямыми: 1.Угол между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых ˂ (а,b) Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. 4,Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен ,Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

1.Поэтапно-вычислительный метод Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямыми A 1 D и D 1 E, где E – середина ребра CC 1.

2. Векторно-координатный метод При прохождении угла ϕ между m и ɭ используют формулу или в координатной форме: где - векторы, соответственно параллельные этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и ɭ были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы 3. Векторный метод При использовании данного метода применяют формулу - векторы, соответственно параллельные данным прямым. 4. Метод опорных задач (с использованием теоремы «о трех косинусах»)

II. Задачи на вычисление угла между прямой и плоскостью. Методы: 1. Применение теоремы косинусов для трехгранного угла. cos 2 α + cos 2 β+ cos 2 γ=1, где α, β и γ - углы, которые образует некоторая прямая с тремя попарно перпендикулярными прямыми. 2. Поэтапно-вычислительный метод Угол между прямой ɭ и плоскостью α можно вычислить, если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов. 3. Метод использования дополнительного угла. Угол между прямой ɭ и плоскостью α и угол ψ между прямой ɭ и перпендикуляром к плоскости α удовлетворяют соотношению φ + ψ = (см. рис). Поэтому в некоторых случая через дополнительный угол ψ легко выйти на искомый угол φ.

4. Метод опорных задач Пусть прямая ɭ пересекает плоскость α в точке А 1, точка М принадлежит прямой ɭ (см. рис). Тогда угол φ между прямой ɭ и плоскостью α можно вычислить, используя формулу

Задача. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой CD 1 и плоскостью AB 1 D 1.

III.Задачи на вычисление угла между плоскостями. Угол между плоскостями -Двугранный угол, образованный плоскостями, измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. -Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0 0, ). -Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку(0 0, 90 0 ). -Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0 0.

1.Построение линейного угла двугранного угла или поэтапно вычислительный метод. Рассматриваемый метод позволяет находить поэтапно искомый угол при решении известных задач. Перечислим типы задач, связанных с нахождением угла: -между пересекающимися прямыми a и b, лежащими в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярными линии их пересечений(см.рис) -между прямыми, параллельными прямым a и b или между b и прямой, параллельной а; -между плоскостями, параллельными данным плоскостям α и β или между α и плоскостью, параллельной β; -между перпендикулярами к данными плоскостям.

2.Метод параллельных прямых. В некоторых задачах построение линейного угла затруднительно. И тогда вместо линейного угла можно рассмотреть угол с соответственно параллельными сторонами по отношению к линейному углу. 3.Метод параллельных плоскостей. В некоторых задачах является эффективным подход, при котором вместо угла между пересекающимися плоскостями α и β нужно найти угол между плоскостями, параллельными рассматриваемым (или между одной из данных плоскостей и плоскостью, параллельной другой из них). 4.Метод использования перпендикуляров к плоскостям. На рисунке прямые l и b лежат в плоскости γ и перпендикулярны плоскостям α и β соответственно. Тогда угол между ними равен углу между плоскостями α и β. В общем случае прямые l и b могут быть скрещивающимися.

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между плоскостью грани AA 1 B 1 B и плоскостью BC 1 D.

5.Метод опорных задач. Применение теоремы «о трех синусах» Пусть в одной из граней двугранного угла, величина которого равна α, проведена прямая, составляющая с ребром двугранного угла угол γ – величина угла между этой прямой и другой гранью. Тогда справедливо следующее соотношение : 6. Векторно – координатный метод. Применение данного метода позволяет свести решение исходной задачи к задаче о нахождении угла а) между векторами нормалей данных плоскостей; б)между направляющими векторами скрещивающихся прямых a и b, лежащих в рассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к линии их пересечения.

Заключение. В своей работе мы сделали попытку рассмотреть стереометрические задачи одной подгруппы и показать методы их решения, так как такие задачи предлагают последние года на ЕГЭ ( С 2 ). Около 30% выпускников приступало к решению задачи С 2 на ЕГЭ гг. Задание С 2 оценивается двумя первичными баллами, поэтому так важно уметь решать такие задачи, чтобы получить высокий балл на ЕГЭ по математике. Кроме того решение задач по геометрии – занятие не только интересное, но и полезное для развития воображения и логического мышления.