Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики Методы численного интегрирования

Численное интегрирование Определенный интеграл от некоторой функции : Численное интегрирование: где – числовые коэффициенты, выбор которых зависит от выбранного метода численного интегрирования, – узлы интегрирования. Погрешность численного интегрирования: 2

Метод прямоугольников Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки длиной h Интеграл вычисляется как сумма вписанных в каждый отрезок прямоугольников чем меньше длина отрезков h, тем точнее вычисленное значение интеграла метод средних прямоугольников наиболее точный 3 Средние прямоугольники Левые прямоугольники Правые прямоугольники

Метод трапеций Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки длиной h Каждый отрезок функции представляется в виде трапеции: Интеграл вычисляется как сумма трапеций 4

Метод Симпсона Интегрируемый отрезок [a;b] делится на равные отрезки длиной h Каждый отрезок функции аппроксимируется параболой парабола проходит через три точки: узлы интегрирования, и середину отрезка Площадь параболы на отрезке Тогда интеграл функции на отрезке [a;b]: 5

Метод Симпсона Избавимся от дробных индексов, разобьем отрезок [a;b] на n 2 равных отрезков длиной h/2 : Тогда формула Симпсона примет вид В этом случае отрезок интегрирования всегда разбивается на четное число интервалов 6

Семейство методов Ньютона-Котеса Интегрируемая функция интерполируется на отрезке [a;b] по равноотстоящим узлам многочленом многочленом Лагранжа где весовые коэффициенты метод прямоугольников – многочлен Лагранжа 0й степени метод трапеций – многочлен Лагранжа 1й степени метод Симпсона – многочлен Лагранжа 2й степени В общем виде формула Ньютона-Котеса: где 7

Весовые коэффициенты метода Ньютона-Котеса n C n c 0n c1nc1n c2nc2n c3nc3n c4nc4n c5nc5n

Метод Гаусса Узлы интегрирования x j располагаются не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы правило было точным для полиномов наиболее высокой степени узлы x j являются корнями полинома Лежандра степени n веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра алгебраическая степень точности равна 2n-1, причем n-точечной формулы большей алгебраической степени точности не существует. В этом смысле формула Гаусса является наилучшей. 9

Весовые коэффициенты метода Гаусса Приведенные в таблице данные соответствуют отрезку [-1;1] Для интегрирования на произвольном отрезке [a,b] необходимо пересчитать значения узлов x j для заданного отрезка: 10 j xjxj cjcj