«Методика разработки заданий для предметных интеллектуальных соревнований учащихся 2-х – 6-х классов по математике (Подготовка к участию в I Всероссийском конкурсе «Проектирование заданий для интеллектуальных соревнований. Часть 2)»

Задача Участок в форме прямоугольника, расположенный на берегу реки, огорожен забором с трех сторон. Длина всего забора – 12 км. Может ли огороженный участок иметь площадь 18 квадратных километров?

Ответ Да, может. Если части забора имеют длины 3км, 6км и 3км, то в сумме весь забор будет иметь длину 12 км, а площадь участка будет в точности 18 км.

Задача В трёх мешках лежат конфеты. Если бы пятиклассник Петя из 1-го мешка вынул 20 конфет, а во 2-ой положил ещё 10, то количество конфет в 1-ом и 2-ом мешках уравнялось бы. Если бы он из 1-го мешка вынул 25 конфет, а в 3-ий положил ещё 15, то уравнялось бы количество конфет в 1- ом и 3-ем мешках. Но Петя хочет переложить несколько конфет из 2-го мешка в 3-ий так, чтобы количество конфет во 2-ом и 3-ем мешках уравнялось. Сколько конфет он должен переложить?

Ответ Он должен переложить 5 конфет Первое условие означает, что изначально во 2- ом мешке на 30 конфет меньше, чем в 1-ом. Аналогично, из второго условия следует, что приходим к выводу, что в 3-ем мешке на 40 конфет меньше, чем в 1-ом. Значит, в 3-ем мешке на 10 конфет меньше, чем во 2-ом. Теперь нетрудно догадаться, что при перекладывании 5 конфет из 2-го мешка в 3-ий, количество конфет в них сравняется.

Задача Придумайте пять различных натуральных чисел, больших 1 и таких, что самое большое делится на все остальные, на самое маленькое делятся все остальные, и больше никакие два из этих чисел друг на друга не делятся.

Ответ Существуют различные решения этой задачи. Вот несколько подходящих пятерок: 2, 4, 6, 10, 60; 3, 6, 9, 15, 90; 4, 8, 12, 20, 120.

Задача Пятиклассница Маша покупала ландыши, лилии и розы. Всего она купила 33 цветка, причём среди них были цветки всех трёх видов. Известно, что лилий она купила в 10 раз больше, чем ландышей. Сколько куплено роз? Приведите все варианты ответа, и объясните, почему другие невозможны.

Ответ 22 или 11. Если Маша купила 1 ландыш, то лилий она купила 10, а роз =22. Если Маша купила 2 ландыша, то лилий она купила 20, а роз =11. Если Маша купила 3 ландыша, то лилий она купила 30, а роз =0, что противоречит тому, что она купила цветки всех трех видов. Если же Маша купила ландышей больше трех, то лилий ей придется купить больше 30 и всего цветков будет больше 33, что опять же противоречит условию задачи. Таким образом, Маша могла купить только 1 или 2 ландыша, а тогда роз 22 или 11 соответственно.

Задача Чтобы добраться до горы Олимп, Геракл прошёл по четырём дорогам. Первая дорога составляет половину всего пути, вторая в 2 раза короче первой, а третья в 2 раза короче второй. По каждой из дорог он шел с одной и той же скоростью. Если бы он шёл без отдыха, то прошёл бы весь путь за 8 дней. Но после прохождения каждой из трёх первых дорог, он отдыхал столько, сколько шёл по этой дороге. Сколько времени продолжалось путешествие Геракла?

Ответ 15 дней Первую дорогу Геракл проходит за 4 дня (так как она составляет половину всего пути, а на весь путь тратится 8 дней), вторую – за 2 дня, третью – за 1 день и, следовательно, четвертую тоже за 1 день ( =1). Отдыхал он 3 раза: 4 дня, 2 дня и 1 день. Тогда всего он затратил на путь к Олимпу =15 дней.

Задача Пони называет число зеркальным, если справа налево оно читается так же, как слева направо. Например, число зеркальное. В равенстве ** + ** = *** все цифры заменены звездочками. Придумайте три каких-нибудь зеркальных числа, которые можно подставить в равенство, чтобы оно оказалось верным.

Ответ Годятся, например, такие числа 22+99=121.

Задача Пони сажает цветы. До 15 августа он каждый день сажал по 4 цветка, а, начиная с 15 августа, стал сажать по 5 цветков в день. К концу дня 24 августа у него было уже 90 цветов. А какого числа Пони посадил первый цветок?

Ответ Весь период работы Пони можно разделить на 2 этапа. Во время первого этапа он высаживал по 4 цветка, а во время второго – по 5 цветков. Первый этап продолжался 24–14=10 дней. Значит, за этот период он посадил 50 цветков, а в первый период 90–50=40 цветков. Это означает, что и первый период тоже продолжался 10 дней, то есть, начался 5 августа, поскольку 14– 4=10

Задача На сегодня Пони запланировал 4 дела. Два из них полезных: полить цветы и выучить таблицу умножения. Ещё два веселых: погулять и поиграть. Чтобы не запутаться, он решил составить расписание на день. Оно может начинаться как с весёлых, так и с полезных дел, которые должны обязательно чередоваться. Сколько разных расписаний могло получиться у Пони?

Ответ 8 расписаний. Пони может начать с весёлого дела. И тогда у него будет четыре варианта расписания. Гулять – поливать – играть – учить, гулять – учить –– играть – поливать; играть – поливать – гулять – учить; играть – учить –– гулять – поливать. А можно начать с полезного дела, и тогда появятся ещё четыре варианта: поливать – гулять – учить–играть; учить – гулять – поливать – играть; поливать – играть – учить – гулять; учить – играть – поливать – гулять. Всего 8 вариантов расписания

Задача В танцевальной студии занимались 22 мальчика и 16 девочек. Каждую неделю в студию приходят два новых мальчика и три новых девочки. Через сколько недель мальчиков и девочек в этой студии станет поровну?

Ответ Через 6 недель. Первоначально мальчиков было на 6 больше, чем девочек. Каждую неделю в студию приходит на одного мальчика больше. Это означает, что на «покрытие дефицита» уйдёт ровно 6 недель