В. И. Дихтяр МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА Российский университет дружбы народов Институт гостиничного бизнеса и туризма Раздел 1.Информация и принципы ее передачи. Основы математической логики, функции, линейная алгебра Тема 108.Векторные пространства, операции над векторами Москва 2010

n- МЕРНЫЙ ВЕКТОР упорядоченный набор из n действительных чисел x = (x 1, x 2, …, x n ) x 1, x 2, …, x n координаты x x = y x 1 = y 1, x 2 = y 2, …, x n = y n x + y (x 1 + y 1, x 2 + y 2, …, x n + y n ) x ( x 1, x 2, …, x n ) 2

А ЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 1. x + y = y + x 2. x + (y + z) = (x + y) + z 3. x + 0 = 0 + x = x, где 0 = (0, 0, …, 0) 4. x + (- x) = 0, где - x = (–x 1, –x 2, …, –x n ) 5. ( x) = ( ) x ; ( + ) x = x + x 6. (x + y) = x + y 7. 0 · x = 0; 0 = · x = x; (– )x = – x вектор 0 нулевой; вектор (- х) противоположный х х - у = х + (-у) = (х 1 – у 1, х 2 – у 2,..., х n – у n ) 3

Л ИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ Система векторов x 1, x 2, …, x k линейно зависима набор чисел 1, 2, …, k, не все из которых равны нулю, такой, что : 1 x x 2 +…+ k x k = 0 [1] В противном случае система линейно независима из [1] следует что 1 = 0, 2 = 0, …, k = 0 Система векторов x 1, x 2, …, x k линейно зависима добавляя новые векторы, получаем линейно зависимую систему 4

Б АЗИС R n линейно независимая система n- векторов: можно разложить произвольный вектор R n n линейно независимых векторов R n образуют базис, m < п m линейно независимых векторов базиса R n не образуют 5

О СНОВНОЙ БАЗИС В R n e 1 = (1, 0, 0, …, 0) e 2 = (0, 1, 0, …, 0) ………………………… e n = (0, 0, 0, …, 1) Линейная независимость: λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + … + λ n e n = = (λ 1, λ 2, …, λ n ) = 0 λ 1 = λ 2 = … = λ n = 0 x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + … + x n e n разложение x по основному базису 6

П РИМЕР x = (2, -1, 3, 0) x 1 e 1 = 2*(1, 0, 0, 0) = (2, 0, 0, 0) x 2 e 2 = -1*(0, 1, 0, 0) = (0, -1, 0, 0) x 3 e 3 = 3*(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 3, 0) x 4 e 4 = 0*(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0) x = 2e 1 – 1e 2 + 3e 3 + 0e 4 7

С КАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В R n в Excel функция СУММПРОИЗВ ( X 1 ; X 2 ; …, X N ) число x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + … + x n y n ; x, y R n Свойства: 1. x y = y x 2. ( x) y = (x y) 3. (x + y) z = x z + y z 8

Н ОРМА ВЕКТОРА в Excel функция КОРЕНЬ (СУММПРОИЗВ) Свойства: x 0 x = · x x + y x + y 9

С ЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ A B C D CB A 10 AB AC BC AB BC DC AD AC

У МНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО A B C Произведение вектора на число есть вектор: коллинеарный имеющий длину сонаправленный при > 0 антинаправленный при < 0 11

Р АЗЛОЖЕНИЕ ПО БАЗИСУ D C B A E F 12

С КАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ число, равное произведению их длин и косинуса угла между ними: = cos 13