Расстояние между точками A и B можно вычислить: 1) как длину отрезка AB, если отрезок AB удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон; 2) по формуле 3) по формуле

В1В1 А А1А1 В Е D С D1D1 С1С1 F Пример 1. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки Е и F так, что Найти длину отрезка EF.

(треугольник AB 1 D 1 является равносторонним). Имеем Решение. Длину отрезка EF найдем по теореме косинусов из треугольника D 1 EF в котором Откуда Ответ:

А А1А1 В1В1 В Е D С D1D1 С1С1 F Пример 1. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на диагоналях граней AD 1 и D 1 B 1 взяты точки Е и F так, что Найти длину отрезка EF.

Решение. Пусть

Замечание.

Решение. Введем прямоугольную систему координат А E D C K x z Q M L А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 B y Пример 2. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 точки E и K – середины ребер AA 1 и CD соответственно, а точка M расположена на диагонали B 1 D 1 так, что B 1 M = 2MD 1. Найти расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML = 2LK.

Для нахождения координат точки М используем формулу координат точки (опорная задача 1), делящей отрезок B 1 D 1 в отношении 2:1. Имеем Тогда Аналогично получим координаты точки L, делящей отрезок MK в отношении 2:1. Имеем

Координаты точки Q равны полусуммам соответствующих координат точек E и М, поэтому Применим формулу для расстояния между точками с заданными координатами Ответ:

Используемая литература: Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С2) Корянов А. Г., г. Брянск, Прокофьев А.А., г. Москва,