Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Расстояние от точки до прямой можно вычислить, как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот. Пример 4. При условиях примера 1 найти расстояние от точки D 1 до прямой EF.

Решение. Пусть h – длина высоты треугольника, D 1 EF опущенной из точки D 1. Найдем h, используя метод площадей. Площадь треугольника D 1 EF равна А1А1 В1В1 С1С1 F А В Е D С D1D1 С другой стороны площадь треугольника D 1 EF равна

Замечание. Можно заметить, что выполняется равенство FE 2 +D 1 E 2 = D 1 F 2,т.е. треугольник D 1 EF прямоугольный и длина отрезка D 1 E является искомым расстоянием.

Пример 5. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны l, найти расстояние от точки A до прямой BC 1. H C1C1 A B C D E F A1A1 F1F1 E1E1 D1D1 B1B1 Решение. В квадрате BCC 1 B 1 диагональ BC 1 равна В прямоугольном треугольнике ACD, где

Пример 6. (МИОО, 2010). В тетраэдре ABCD, все ребра которого равны l, найти расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD. B M A C E D H Решение. Так как все ребра ABCD - равные правильные треугольники, то медианы BE и AE треугольников BDC и ADC равны и

Рассмотрим равнобедренный треугольник BEA и его высоты EM и AH. Выражая площадь треугольника двумя способами, получаем

Пример 7. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние от точки D до прямой A 1 C. A D C B A1A1 D1D1 C1C1 D1D1 F

как проекции на плоскость BDC 1 равных наклонных CC 1, СВ и CD соответственно. Следовательно, точка F является центром правильного треугольника BDC 1 Поэтому искомое расстояние равно радиусу окружности, описанной около треугольника BDC 1.

Пример 8. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние от точки D 1 до прямой РQ, где Р и Q – середины соответственно ребер A 1 B 1 и ВС. X С YA D1D1 A1A1 B1B1 N P D C1C1 Q Z

Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в точке A Найдем координаты точек Из треугольника D 1 PQ, используя формулу

Пример 9. В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найти расстояние от точки D 1 до прямой РQ, где Р и Q – середины соответственно ребер A 1 B 1 и ВС. С X A D1D1 A1A1 B1B1 N P D C1C1 Q Z YB

Решение. Пусть

Замечание. Решение данного примера векторным методом не является рациональным, но приведено с целью показа широких возможностей векторного метода при решении задач разных видов

Используемая литература: Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.