Летуновский С.В. Димитровград 2012

2 Целью работы является разработка новых методов оценки долговременных вариаций случайных процессов, представленных цифровыми рядами наблюдений, и использование этих методов для анализа солнечной активности на масштабах времени порядка 100 лет и больше. Разработка метода моментов для оценивания вероятностных характеристик нестационарных процессов и их изменчивости со временем с помощью метода скользящих рядов наблюдений. Построение модели нестационарного распределения вероятностей чисел Вольфа, представляющего смесь двух распределений, связанных формулой полной вероятности. Разработка метода оценивания изменений со временем параметров автокорреляционной функции ряда чисел Вольфа на основе скользящих рядов наблюдений и построение модели нестационарного процесса в форме суммы детерминированных гармоник и аддитивного процесса стационарного в широком смысле. Создание метода построения эмпирических моделей нестационарных рядов наблюдений с помощью вейвлет-преобразований в форме линейных дифференциальных уравнений различных порядков и переменными коэффициентами - характеристическими потенциалами. Разработка вычислительных алгоритмов построения комплексных вейвлет-преобразований и вычисления характеристических потенциалов процесса. Создание комплекса программ проведения анализа нестационарных рядов наблюдений, представленных в форме цифровых рядов наблюдений, и его использование для анализа долговременных вариаций солнечной активности. Задачи:

Данные по солнечной активности 3 Данные, полученные методом измерений в реальном времени. Эти данные точны, но ряды достаточно короткие. L< 200 лет. Восстановленные с помощью естественных архивов солнечной активности данные. Ряды содержания радиоуглерода-14 и бериллия-10. Ряды концентраций нитратов в полярных льдах. L~10 5 лет. ! косвенный характер этих данных требует специального рассмотрения. Несмотря на то, что в последние несколько десятилетий, в связи с запуском космических аппаратов спектр наблюдательных данных значительно расширился, этих данных не достаточно для изучения долгопериодических вариаций солнечной активности.

Числа Вольфа 4 Длина ряда 3144 точки. Дискретность 1 мес.

Распределение чисел Вольфа 5 Экспериментальное распределение может быть интерпретировано как распределение, порождаемое двумя механизмами формирования пятен: Один из них, соответствующий показательному распределению, можно рассматривать, как постоянно действующий статистический механизм формирования пятен с приблизительно одной и той же энергией (распределение Больцмана). Второй механизм можно интерпретировать как взрывной. При его срабатывании в среднем возникает достаточно много пятен, число которых распределено по быстро убывающему закону. В качестве модели такого распределения можно рассматривать и модифицированные показательные распределения, и распределения типа Максвелла. …достаточно хорошо описывается показательным распределением: Среднее значение чисел Вольфа (по всему ряду) близко к стандартному отклонению от среднего

Модель распределения 6 Представим распределение в виде смеси двух распределений, связанных формулой полной вероятности: где или Оценим параметры модели, используя метод скользящих рядом и метод моментов…

Метод скользящих рядов 7 выделением ряд длинной N: Отдельные значения ряда: a – определяет номер каждого ряда s – сдвиг ([k]- целая часть от k) - это метод сравнительного анализа свойств рядов, полученных из полного ряда:

8 Метод моментов Базируется на вычислении параметров теоретического распределения на основе оценок моментов случайной величины по эмпирическим данным. Вычисления проводились для каждого ряда из набора скользящих рядов с шагом в 1 месяц. При этом численно решалась система уравнений: Отбор корней производится в соответствии с условием: где

9 Гистограммы распределений чисел Вольфа для двух столетних промежутков (а) гг., (b) гг. Зависимость коэффициентов распределения от времени, при q=2.

10 Зависимость параметра p(t) – вероятности срабатывания «взрывного механизма» Пунктиром отмечен уровень концентраций нитратов полярных льдах ! Полученные результаты не дают возможность сделать прогноз, но позволяют оценить характеристики процесса. Рассмотрим возможность построения прогноза с использованием метода автокорреляционных функций…

Автокорреляционная функция ряда чисел Вольфа 11 Сдвиг, точек

12 Автокорреляционные функции скользящих рядов чисел Вольфа длиной 100 лет со сдвигом 1 год. Функции группируются в кластеры

13 Усредненная автокорреляционная функция второго кластера (пунктир) и остаточные ряды отклонений. Модель долговременных изменений автокорреляционной функции, можно представить в виде разложения по эмпирическим ортогональным модам на каждом из выделенных временных сегментов:

14 Три первых моды (A-1,B-2,C-3) остаточных рядов автокорреляционной функции. 1,2,3,4 - номера сегментов Изменение амплитуды мод (A-1,B-2,C-3) со временем. 1,2,3,4 - номера сегментов

15 Отклонение средних значений автокорреляционной функции по сегменту от средней по всем скользящим рядам. 1,2,3,4 - номера сегментов, 5 - средняя автокорреляционная функция по всем сдвигам скользящих рядов (15.1)

, - независимые случайные величины и 16 Рассмотрим случайный процесс вида: Амплитуды гармоник и их фазы – случайные величины. При условии: (16.1) (16.1) – стационарный в широком смысле процесс. Если, зависимы, то процесс (16.1) не является стационарным в широком смысле, то: (16.2) (16.3)

установлено, что солнечная активность остается относительно устойчивой на отрезках (сегментах) времени порядка 42.5 лет и испытывает на границах этих отрезков скачкообразные изменения. внутри каждого такого отрезка автокорреляционная функция испытывает осцилляции с частотами кратным частоте, соответствующей периоду 42.5 лет. Эти выводы в целом соответствуют результатам анализа ряда чисел Вольфа, методом моментов. Невозможно дотянуть прогноз до настоящего времени 17 Необходим метод, оценивающий частотные параметры временного ряда, лишенный серьезного недостатка – запаздывания по времени. Рассмотрим возможность использования вейвлет анализа

Вейвлет-анализ 18 Вейвлет-преобразование – интегральное преобразование вида: Где удовлетворяет условиям: (19.1) (19.2) Выполняя замену получаем: (19.3) Выполняя разложение в ряд Тейлора в z=0 : где

Нули вейвлет-преобразования и локальные параметры процесса 19 При больших значениях a, (20.1) можно представить: (20.1) Корни полинома:,тогда: (20.2) (20.3) (20.4)

20 По т. Виета: Из этого следует: где В общем случае: где (21.1) (21.2) (21.3) (21.4) Функции вида: -характеристические потенциалы (21.5) (21.6) Связаны с самим сигналом соотношением: В частности, функция в случае представляет собой локальную частоту процесса в смысле модели

Вычисление локальной частоты тестового сигнала 21

22 Вейвлет-спектр тестового ряда

23 Сглаженная фильтром Тьюки с окном Р=20(а) и Р=100(b) величина квадрата частоты. Восстановленная зависимость квадрата частоты модулирующей функции

24 Подводя итоги можно утверждать, что метод построения нестационарных эмпирических моделей процессов, представленных в форме цифровых рядов наблюдений, основанный на вейвлет-преобразовании рядов, позволяет описывать процесс в терминах линейных уравнений различных порядков с изменяющимися со временем характеристическими потенциалами. Порядок и форма уравнений определяются типом вейвлет-преобразования. Основная трудность в составлении прогноза солнечной активности заключается в выборе математической модели. Модель должна описывать реальный физический процесс на Солнце. Существует множество моделей физических процессов на Солнце, однако обработка экспериментальных данных с использованием разработанного метода анализа долговременных вариаций числовых рядов еще не проводилась. Одной из причин послужила высокая трудоемкость и большой объем вычислений. В качестве решения вычислительной проблемы был разработан программный комплекс анализа данных.

Программный комплекс SDBSQL 25

Комплекс «SPAN» Интерактивный комплекс программ обработки данных, использующий технологию параллельных вычислений CUDA, содержащий программы автоматизированного анализа параметров скользящих рядов, в том числе, метода моментов, корреляционного и вейвлет- анализов позволяет эффективно и быстро организовать исследование цифровых рядов наблюдений. 26

Выводы Модель вероятностного распределения чисел Вольфа аппроксимируется распределением, представленным формулой полной вероятности для двух несовместных процессов образования пятен с изменяющимися со временем параметрами. Один процесс приводит к распределению экспоненциального типа, а второе - распределению типа Гаусса-Максвелла. Вероятность реализации одного из двух типов процесса образования пятен имеет кусочно-линейный график изменения со временем, который вычисляется с помощью метода моментов. Производная по времени от вероятности реализации одного из процессов имеет характер близкий к телеграфному процессу. Изменения со временем автокорреляционной функции ряда чисел Вольфа синхронизированы с моментами скачков в телеграфном процессе для скорости изменения вероятности реализации одного из процессов образования пятен и могут быть представлены моделью совокупности детерминированных гармонических процессов с аддитивным стационарным в широком смысле процессом. Метод построения нестационарных эмпирических моделей процессов, представленных в форме цифровых рядов наблюдений, основанный на вейвлет-преобразовании рядов, позволяет описывать процесс в терминах линейных уравнений различных порядков с изменяющимися со временем характеристическими потенциалами. Порядок и форма уравнений определяются типом вейвлет- преобразования. Интерактивный комплекс программ обработки данных, использующий технологию параллельных вычислений CUDA, содержащий программы автоматизированного анализа параметров скользящих рядов, в том числе, метода моментов, корреляционного и вейвлет- анализов позволяет эффективно и быстро организовать исследование цифровых рядов наблюдений. 27