ПРИЗМА Типовые задачи В-11

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 3. a Н Используем формулу площади поверхности правильной призмы: В основании лежит правильный шестиугольник, который большими диагоналями делится на 6 равных правильных треугольников со стороной а = 3 Поэтому площадь правильного шестиугольника можно найти так: В правильной призме высотой является боковое ребро: Н = 3 аа а Подставляем данные в формулу * : * Ответ: 13,5 1

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота 10. a Н В основании лежит правильный шестиугольник Используем формулу площади боковой поверхности правильной призмы: а Подставляем данные в формулу * : * S бок = = Ответ: 300

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна Используем формулу площади поверхности правильной призмы: В основании лежит квадрат со стороной а = 20 Используем формулу площади боковой поверхности правильной призмы: Подставляем данные в формулу * : * 1760 = Н 1760 = Н 80Н = Н = 12 Ответ: 12 a

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны. 4 Н а Используем формулу объёма правильной призмы: В основании лежит правильный шестиугольник, который большими диагоналями делится на 6 равных правильных треугольников со стороной а = 1 а Поэтому площадь правильного шестиугольника можно найти так: Н – высота (боковое ребро) правильной призмы Подставляем данные в формулу * : * Ответ: 4,5

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба. Единичный куб: ребро а = 1 Площадь поверхности куба S куб = 6a 2 = 6 Рассмотрим из чего состоит площадь поверхности оставшейся части куба: 1) В его основаниях вырезаны основания правильной четырехугольной призмы (квадраты)со стороной а 1 = 0,5 2) Его поверхность увеличивается на площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы со стороной основания а 1 = 0,5 и высотой Н = 1 Запишем формулу площади поверхности оставшейся части куба: S = S куб – 2S осн.пр + S бок.пр или S = 6 – 2. 0, = 7,5 S осн.пр = а 1 2 = 0,25 S бок.пр = Р осн. Н = 4а 1. 1 = 2 Ответ: 7,5 5

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10. 1) Используем формулу площади поверхности прямой призмы: 2) В основании лежит ромб с диагоналями AC = d 1 = 6 и BD = d 2 = 8 6 AB C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 O a O A B C D 3) В прямой призме боковое ребро является высотой призмы: АА 1 = Н = 10 Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн. Н = 10Р осн = 10. 4АВ 4) Найдем АВ - сторону ромба из АОВ ( О = 90 0 ): АО = 0,5АС= 3 и ВО = 0,5 BD = 4 Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам По т. Пифагора: * Подставляем данные в *,получим: S пов = = 248 Ответ: 248

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы. 1) Используем формулу площади поверхности прямой призмы: 2) В основании лежит ромб с диагоналями AC = d 1 = 6 и BD = d 2 = 8 7 AB C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 O a O A B C D 3) В прямой призме боковое ребро является высотой призмы: АА 1 = Н Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн. Н = 4АВ. Н 4) Найдем АВ - сторону ромба из АОВ ( О = 90 0 ): АО = 0,5АС= 3 и ВО = 0,5 BD = 4 Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам По т. Пифагора: * Подставляем данные в *,получим: 248 = Н Н = 10 Ответ: 10

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы. 8 АВ С А1А1 В1В1 С1С1 1) Используем формулу объема призмы В прямой призме боковое ребро является высотой призмы, т.е. АА 1 = Н = 5 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А В С 6 8 3) Подставляем данные в формулу объема призмы, получим: V = = 120 Ответ: 120

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. 9 АВ С А1А1 В1В1 С1С1 1) Используем формулу объема призмы В прямой призме боковое ребро является высотой призмы, т.е. АА 1 = Н 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А В С 3 5 3) Подставляем данные в формулу высоты призмы, получим: Ответ: 4

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности. 10 АВ С А1А1 В1В1 С1С1 1) Используем формулу поверхности призмы 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А ВС 6 8 5) Подставляем данные в формулу поверхности призмы, получим: S пов = = 288 Ответ: 288 3) Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн. Н = 10Р осн = 10. (АВ + АС + ВС) = 10(АВ ) 4) Найдем АВ по т. Пифагора: S бок = 240

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы. 11 АВ С А1А1 В1В1 С1С1 1) Используем формулу поверхности призмы 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А ВС 6 8 5) Подставляем данные в формулу поверхности призмы, получим: 288 = Н Н = 10 Ответ: 10 3) Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн. Н = (АВ + АС + ВС). Н 4) Найдем АВ по т. Пифагора: S бок = 24Н

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза? 12 Рассуждаем: 1)Если все ребра призмы увеличить в k раз, то получим подобную призму с коэффициентом подобия k 2) Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. В данной задаче k = 3, т.е. площадь поверхности увеличится в 9 раз. S бол = 9. 6 = 54 Ответ: 54

Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины. Рассуждаем: 1)Диагональное сечение BDD 1 B 1 делит куб на две равные треугольные призмы: V куба = 2. V тр.пр 2) Рассмотрим прямую треугольную призму BDCB 1 D 1 C 1 V тр.пр = S BDC. H, где Н = СС 1 3) Рассмотрим прямую треугольную призму ЕFCE 1 F 1 C 1 V пр = S EFC. H, где Н = СС 1 Значит, k = 2 - коэффициент подобия для BDC и EFC (EF = ½ BD – ср.линия BDC ) V тр.пр. = V пр. k 2 = 4. V пр V куба = 2. V тр.пр = V пр = 8V пр V пр = V куба : 8 = 12 : 8 = 1,5 Ответ: 1,5 13

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 0 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда. 14 1) Используем формулу объема параллелепипеда: 2) В основании параллелепипеда – ромб со стороной 1 и острым углом 60 0 А В С D ) Одно из боковых ребер параллелепипеда составляет с основанием угол в 60 0 и равно 2. Изобразим фрагмент рисунка А А1А1 М АА 1 – боковое ребро (наклонная к основанию) А 1 М = Н – высота параллелепипеда Подставляем данные в формулу объема, получим Ответ: 1,5

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы. Площади боковых граней отсеченной призмы в два раза меньше соответствующих площадей боковых граней данной призмы ( т.к. сечение проведено через средние линии треугольников). Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы в два раза меньше площади боковой поверхности данной призмы. 15 S бок.отс = S бок.пр : 2 = 24 : 2 = 12 Ответ: 12

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. Площади боковых граней отсеченной призмы в два раза меньше соответствующих площадей боковых граней данной призмы ( т.к. сечение проведено через средние линии треугольников). Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы в два раза меньше площади боковой поверхности данной призмы. 16 S бок.пр = S бок.отс. 2 = 8. 2 = 16 Ответ: 16

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. 1) Используем формулу объема призмы: А В С М К Данная призма: Отсеченная призма: k = 2 - коэффициент подобия АBC и АКМ (КМ = ½ BС – ср.линия АBC ) Значит, объем отсеченной призмы в 4 раза меньше объема данной призмы V отс.пр = 32 : 4 = 8 Ответ: 8 17

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы. 1) Используем формулу объема призмы: А В С М К Данная призма: Отсеченная призма: k = 2 - коэффициент подобия АBC и АКМ (КМ = ½ BС – ср.линия АBC ) Значит, объем отсеченной призмы в 4 раза меньше объема данной призмы V отс.пр = 5. 4 = 20 Ответ: 20 18

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы. 19 А С В С1С1 А1А1 В1В1 1) Пусть (АА 1 С 1 С) (ВВ 1 С 1 С), тогда линейный угол двугранного угла: АСВ = 90 0 АВС – перпендикулярное сечение призмы Тогда АВС – прямоугольный с катетами 6 и 8. По т. Пифагора гипотенуза равна 10 2) Для вычисления боковой поверхности призмы воспользуемся формулой l - длина бокового ребра P - периметр перпендикулярного сечения призмы V = ( ). 10 = 240 Ответ: 240

20 1) Используем формулу объема призмы: 2) В основании призмы – правильный шестиугольник со сторонами 2 3) Боковые ребра призмы составляют с основанием угол в 30 0 и равны 23. Изобразим фрагмент рисунка А А1А1 М АА 1 – боковое ребро (наклонная к основанию) А 1 М = Н – высота параллелепипеда Подставляем данные в формулу объема, получим Ответ: 18 Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 30 0.