Всероссийский конкурс исследовательских работ учащихся Первые шаги в науку Направление: математика Тема: «Решения олимпиадных задач через отношения» Тихонов Игорь МБОУ лицей 1, г. Комсомольска-на-Амуре 9 класс Научный руководитель: Будлянская Н.Л. учитель математики г. Комсомольск-на-Амуре, 2012/2013 учебный год

Содержание 1.Введение 2.Основная часть 1.Применение теорем Чевы и Менелая 1.Теорема Менелая 2.Теорема Чевы 3.Следствия из теоремы Чевы 4.Применение теорем Чевы и Менелая в решении задач 2.Барицентрический метод. 1.Определение центра масс и его основные свойства 2.Применение барицентрического метода в решении задач.. 3.Применение свойств площадей в решении задач 1.Основные свойства площадей 2.Решение задач 4.Задачи для самостоятельного решения 3.Заключение 4.Используемая литература 5.Приложения

Введение Решая различные задачи по планиметрии, я нередко сталкивался с определенными трудностями при нахождении отношений отрезков. Поэтому я решил провести исследование, предметом которого стали отношения, а объектом – методы их решения. Я поставил цель изучить имеющуюся литературу по данному вопросу, классифицировать найденные методы, решить задачи с их применением и пронаблюдать возможности применения различных подходов к одной и той же задаче. Кроме того, мне захотелось составить свои задачи к работе и создать в итоге полезное методическое пособие по теме.

Основная часть Применение теорем Чевы и Менелая Теорема Менелая

Теорема Чевы

Следствия из теоремы Чевы Следствие 1.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следствие 2.Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 3. Высоты треугольника (или их продолжения)пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника). Следствие 4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Задача 1. В треугольнике ABC, описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A и C - точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB. Q –точка пересечения отрезков AA и BH, где BH-высота. Найдите отношение BQ:QH. Применение теорем Чевы и Менелая для решения геометрических задач

Определение центра масс, его основные свойства. Основные свойства центра масс. 1.Всякая система, состоящая из конечного числа мт, имеет центр масс, и притом единственный. 2.Центр масс двух мт находится на отрезке, соединяющем эти точки. 3.Если в системе, состоящей из конечного числа мт отметить несколько мт и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

Применение барицентрического метода в решении задач. Задача 1. Докажем с помощью этих свойств теорему Архимеда: три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. (1) (2)

Задача 2. Докажем теорему: Прямая, проходящая через вершину основания и середину медианы основания, отсекает от боковой стороны одну треть её. (2) (1) (2) М

Задача 3. На стороне АС треугольника АВС взята точка М такая, что АМ=1/3 АС, а на продолжении СВ – такая Т, что ВТ=СВ. МТ пересекает АВ в точке О. В каком отношении делит эта точка АВ и МТ? (1) (2) (3)

Задача 4. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей. (2) (1) (2)

Задача 5. Дан треугольник ABC. Точка А делит ВС в отношении 7:2. Точка В делит отрезок АС в отношении 1:3. Точка О – точка пересечения АА и ВВ. Найти отношения, в котором делит точка О эти отрезки. (7) (21) (2) (9) (28)

Применение свойств площадей в решении задач. Основные свойства площадей. Для решения задач на площади фигур нам потребуются следующие факты, небольшие задачи. 1.Медиана делит треугольник на два равновеликих 2.Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. 3. Площади треугольников, образованных боковыми сторонами трапеции и её диагоналями равны. 4.Пусть задан произвольный четырехугольник и проведены его диагонали, тогда произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам четырехугольника, равны.

Задача 1. Дан произвольный четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1. В нем проведены отрезки A 1 D, В 1 А, С 1 В, D 1 C как показано на чертеже. Площади треугольников С 1 В 1 В, В 1 А 1 А, D 1 A 1 A, соответственно равны S 1,S 2,S 3. Найти площадь треугольника D 1 C 1 C. Решение задач.

Задача 4. Дан правильный девятиугольник, в нем проведены диагонали, как показано на рисунке. Определить какая часть треугольника больше, закрашенная или нет.

Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А 1 и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА 1 и СС 1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ 1. Найдите АР : РА 1. Задача 2. Пусть АD – медиана треугольника АВС. На стороне АD взята точка К так, что АК : КD = 3 : 1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. Задача 3. Стороны треугольника 5, 6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник. Задача 4. Биссектрисы ВЕ и АD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника BQD равна 1, 2АС = 3 АВ, 3ВС = 4 АВ. Задача 5. Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2 : 1 и 1 : 2. Прямые АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника ОВС.

Задача 6. На продолжениях сторон АВ, ВС, АС треугольника АВС взяты соответственно точки С 1, А 1, В 1 так, что АВ = ВС 1, ВС = СА 1, СА = АВ 1. Найдите отношение в котором прямая АВ 1 делит сторону А 1 С 1 треугольника А 1 В 1 С 1. Задача 7. В четырехугольнике ABCD точки M и N середины сторон AD и BC соответственно. При пересечении диагоналей АС и BD с отрезком MN образуются точки К и Р соответственно. Отрезки МР, РК, КN равны между собой. Докажите, что АВСD – трапеция. Задача 8. Перпендикуляр к боковой стороне AB трапеции ABCD, проходящий через её середину K, пересекает сторону CD в точке L. Известно, что площадь четырёхугольника AKLD в пять раз больше площади четырёхугольника BKLC, CL = 3, DL = 15, KC = 4. Найдите длину отрезка KD. Задача 9. В трапеции KLMN основания KN и LM равны 12 и 3 соответственно. Из точки Q, лежащей на стороне MN, опущен перпендикуляр QP на сторону KL. Известно, что P середина стороны KL, PM = 4 и что площадь четырёхугольника PLMQ в четыре раза меньше площади четырёхугольника PKNQ. Найдите длину отрезка PN. Задача 10. В трапеции с основаниями 3 и 4 найдите длину отрезка, параллельного основаниям и делящего площадь трапеции в отношении 5:2, считая от меньшего основания.

Заключение В своей работе я реализовал поставленные цели и задчи. Я изучил имеющуюся литературу по теме и выбрал три основных теоретических аспекта, которые позволяют решить задачи на отношения отрезков: Применение теорем Чевы и Менелая Применение барицентрического метода Применение свойств площадей. Коротко изложив теорию, я показал её применение в решении задач, а теорему о точке пересечении медиан я доказал и не одним способом. Кроме того я сделал подборку задач по теме, включив в нее самостоятельное составленные. Надеюсь, мне удалось создать полезное пособие для учащихся 8-11 классов, увлекающихся математикой.

Используемая литература. 1.Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. М.: МЦНМО, 2003г. 2.Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. 5-е изд, испр. и доп. - М.: МЦНМО: ОАО Московские учебники, Р.И. Довбыш Математические олимпиады, 2008г. 4.Э. Н. Балаян олимпиадная и занимательная задачи по математике. Феникс, 2008.