Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §52. Сочетания и размещения. Часть II Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Содержание Актуализация опорных знаний: определение 1; теорема 1; определение 2 и теорема 2; теорема 3 и определение 3; Итоги выборов двух элементов Введение Определение 4Определение 4. Число сочетаний и число размещений из n элементов по k Теорема 4Теорема 4. Формулы числа размещений и числа сочетаний. Доказательство Доказательство Пример 7. В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Пример 8. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Следствия из теоремы 4. Формулы Треугольник Паскаля Для учителя математики Источники Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Повторение Определение 1. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел n! и называют «эн факториал»: n!=1 2 3 … (n-2) (n-1) n Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 3 n n!1 1 2=22! 3=63! 4=244! 5=1205! 6=7206! 7=5040

Повторение Теорема 1. n различных элементов можно расставить по одному на n различных место ровно n! способами. Как правило, эту теорему записывают в виде краткой формулы: P n =n! P n -это число перестановок из n различных из n различных элементов, оно равно n! Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Повторение Определение 2. число всех выборов двух элементов без учета их порядка из n данных элементов называют числом сочетаний из n элементов по 2 и обозначают (цэ из эн по два). Теорема 2 (о выборе двух элементов). Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента без учета их порядка, то такой выбор можно произвести n(n-1)/2 способами Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Повторение Теорема 3. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать из них два элемента, учитывая их порядок, то такой выбор можно произвести n(n-1) способами. Доказательство: Первый по порядку элемент можно выбрать n способами. Из оставшихся (n-1) элементов второй по порядку элемент можно выбрать (n-1) способом. Так как два этих испытания (выбора) независимы друг от друга, то по правилу умножения получаем n(n-1). Определение 3. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначают Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Итоги выборов двух элементов А как будут выглядеть формулы, если в них верхний индекс 2 заменить на 3, 4, … и вообще на произвольное число k, 1k n? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Введение Здесь мы переходим к основному вопросу параграфа – к выборам, состоящим из произвольного числа элементов. Вот типичные вопросы: Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30; 7 монет из 10 данных монет; 10 карт из колоды в 32 карты и т.п. Удобно, как и ранее, ввести специальные термины и специальные обозначения Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Определение 4 Число всех выборов k элементов из n данных без учета порядка называют числом сочетаний,из n элементов по k и обозначают Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k и обозначают Используя эти обозначения, нетрудно записать ответы на поставленные выше вопросы: Сколькими способами можно выбрать 5 учеников из 30 для дежурства в столовой; Актив класса (староста, культорг, редактор стенгазеты, организатор спортивных мероприятий) – 4 человека из 30; 7 монет из 10 данных монет; 10 карт из колоды в 32 карты и т.п Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Теорема 4 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 7 В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй сходить за мелом, третий пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример 8 «Проказница Мартышка, Осёл, Козел и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11. а) Найти число всевозможных выборов инструментов. б) Найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Крылова, занимают четко отведенные позиции). в) Сколько всего различных инструментальных составов квартета может получиться? Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Следствия из теоремы 4 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Треугольник Паскаля Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Например, Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Для учителя математики Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Источники Алгебра и начала анализа, классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики