Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §53. Формула бинома Ньютона

Содержание Введение Проанализируем полученные формулы Предположение Доказательство формулы Биномиальные коэффициенты Биномиальные коэффициенты Пример Свойство биномиальных коэффициентов Для учителя Источники Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Введение Известно, что (а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2. Умножив обе части этого тождества на (а + b), получим: (а + b) 3 = (а 2 + 2аb + b 2 )(а + b) = = а 3 + За 2 b + Заb 2 + b 3. Аналогично умножив обе части тождества (а + b) 3 = а 3 + За 2 b + Заb 2 + b 3 на (а + b), получим: (а + b) 4 = (а 3 + За 2 b + 3 аb 2 + b 3 )(а + b) = а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 + 4аb 3 + b 4. Итак, (а + b) 1 = а + b; (а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2 ; (а + b) 3 = а 3 + За 2 b + 3аb 2 + b 3 ; (а + b) 4 = а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 + 4аb 3 + b Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Проанализируем полученные формулы Замечаем, во-первых, что в правой части любой из формул сумма показателей при переменных в каждом одночлене равна показателю двучлена в левой части. Например, в последней формуле двучлен возводится в четвертую степень и сумма показателей при а и b в каждом слагаемом в правой части равна 4. Впрочем, это понятно, ведь (а + b) 4 это (а + b)(а + b)(а + b)(а + b) и после раскрытия скобок получится многочлен, состоящий из одночленов а 4, а 3 b, а 2 b 2, аb 3, b 4 с некоторыми коэффициентами. Замечаем, во-вторых, что коэффициенты при одночленах в правых частях формул ассоциируются с треугольником Паскаля, о котором мы говорили в § 52. Сравните числа, имеющиеся в первых четырех строках треугольника, с соответствующими коэффициентами при одночленах в каждой из четырех формул. Полное совпадение Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Предположение Естественно предположить, что подмеченная закономерность сохранится и в общем случае, т. е. для любого натурального значения n верна следующая формула: Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Доказательство формулы Рассмотрим произведение n двучленов (а + b)(а + b)(а + b)... (а + b) и докажем, что коэффициент при одночлене a n-k b k равен. В самом деле, чтобы, раскрыв скобки, получить одночлен вида a n-k b k, нужно из n множителей вида (а + b) выбрать k множителей (порядок не важен), откуда берется переменная b; тогда автоматически из оставшихся n-k множителей будет взята переменная а. Но выбрать k множителей из n имеющихся без учета порядка можно способами, что и требовалось доказать Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Биномиальные коэффициенты Формулу (1) обычно называют формулой бинома Ньютона (бином двучлен), а коэффициенты биномиальными коэффициентами Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Пример Раскрыть скобки в выражении: а) (x + 1) 6 ; б) (а 2 - 2b) 5. Решение: а) Применим формулу (1), считая, что а = x, b= 1, n = 6. Получим: Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Свойство биномиальных коэффициентов В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов. Составим формулу бинома Ньютона для выражения (х + 1) n (подобно тому, как в рассмотренном примере мы применили формулу бинома Ньютона к выражению (х + I) 6 ). Получим: Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Для учителя Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

Источники Алгебра и начала анализа, классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики