Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §54. Случайные события и их вероятности I. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНАТОРИКИ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Содержание Введение 1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНАТОРИКИ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИМЕР 1. Из колоды карт … Решение примера 1а) Решение примера 1б) ПРИМЕР 2. В урне лежат шары … Решение примера 2а) Решение примера 2б) Вероятность суммы несовместных событий Решение примера 2в) ЗАМЕЧАНИЕ Для учителя Источники Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 2

Введение В теории вероятностей и математической статистике строятся и исследуются модели различных ситуаций, связанных с понятием случайности. Один из основателей математической статистики шведский ученый Гаральд Крамер писал так: «По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом случайный. Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах». В § 51 мы последовали этому совету и разобрали простейшие вероятностные задачи. После знакомства с основными формулами комбинаторики можно переходить к более сложным задачам Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНАТОРИКИ ДЛЯ ПОДСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 4

Пример 1. Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают три карты. Какова вероятность того, что среди них: а) нет пиковой дамы; б) есть пиковая дама? Решение. У нас имеется множество из 36 элементов игральных карт. Мы производим выбор трех элементов, порядок выбора не важен. Значит, имеется N = С 36 3 исходов. Будем действовать по классической вероятностной схеме, т. е. предполагать, что все эти исходы равновероятны между собой Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 5

Пример 1. а) нет пиковой дамы а) Среди всех N исходов нам следует сосчитать те, в которых нет пиковой дамы (событие А). Поэтому отложим даму пик в сторону и будем выбирать три карты из оставшихся 35 карт. Получатся все интересующие нас варианты: N(A)=С Осталось вычислить нужную вероятность: Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Пример 1. б) есть пиковая дама б) Вычислим вероятность противоположного события А (есть дама пик) по формуле из § 51: Р(А) = 1 - Р(А) = 1/12. Ответ: а) 5/12; б)1/ Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Пример 2. В урне лежит 10 белых и 11 черных шаров. Случайным образом достают пять шаров. Какова вероятность того, что: а) среди этих пяти шаров ровно три белых; б) среди них не менее четырех белых шаров; в) большинство шаров белые? Решение. Считаем шары в урне неразличимыми на ощупь. Из 21 шара случайным образом производят выбор пяти шаров. Порядок выбора не важен. Значит, существует N(A) = C 21 5 способов такого выбора Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Пример 2. а) среди этих пяти шаров ровно три белых; а) Интересующее нас событие А наступает, когда три из пяти шаров белые, а два оставшихся черные, т. е. когда из 10 белых шаров оказались выбранными 3 шара, а из 11 черных шаров 2 шара. Из 10 белых шаров 3 шара можно выбрать C 10 3 способами, а из 11 черных шаров 2 шара можно выбрать С 11 2 способами. По правилу умножения получаем, что нужный нам состав шаров можно выбрать N(A)=C 10 3С 11 2 способами. Значит, Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Пример 2. б) среди них не менее четырех белых шаров; б) Проведем перебор случаев. Пусть В событие, состоящее в том, что белых шаров ровно 4, а С событие, означающее, что все 5 шаров белые. Вероятности Р(В) и Р(С) вычисляются по той же схеме, что и Р(А) в пункте а): Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Пример 2. б) среди них не менее четырех белых шаров; События В и С не могут наступить одновременно, т. е. они несовместны. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (об этом мы уже говорили в курсе алгебры 9-го класса). Значит, Р(В + С) = Р(В) + Р(С) 0, ,0124 = 0, Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 11

Вероятность суммы двух несовместных Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 12

Пример 2. в) большинство шаров белые? в) Интересующее нас событие произойдет в следующих случаях: из пяти вытащенных шаров 3 белых и 2 черных, из пяти шаров 4 белых и 1 черный, все 5 шаров белые. Эти три случая соответствуют событиям А, Б, С, разобранным в пунктах а) и б). Никакие два из событий А, В, С не могут наступить одновременно, т. е. эти события попарно несовместны. Поэтому Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + + Р(С) = 0, , ,0124 = 0, Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 13 Ответ: а)0,3243; б)0,1259; в)0,4502.

ЗАМЕЧАНИЕ Задачи на отыскание вероятностей случайных событий «в два с половиной раза» сложнее задач по комбинаторике. Сначала мы используем комбинаторику при нахождении N количества всех исходов опыта. Во второй раз комбинаторика нужна при нахождении N(A), причем это уже, как правило, более сложная комбинаторика. Наконец, надо еще уметь вычислить значение дроби. Вот и получается «две с половиной комбинаторики» Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 14

Для учителя Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 15

Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 16

Источники Алгебра и начала анализа, классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel. Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики