Электротехника и электроника Линейные цепи переменного тока.

Решение задач, связанных с производством электрической энергии, ее передачей на далекие расстояния и распределением между мелкими потребителями, привело к широкому применению переменного тока не только в различных отраслях промышленности, но и в быту. После изобретения трансформатора (1876 г.) П. Н. Яблочковым была сравнительно просто решена задача получения различных напряжений как для передачи электрической энергии на большие расстояния (при высоком напряжении), так и для ее распределения между потребителями (при сравнительно низком напряжении). В 1889 г. М. О. Доливо-Добровольский изобрел трехфазный асинхронный электродвигатель переменного тока, который стал широко применяться в промышленности. Благодаря работам М. О. Доливо-Добровольского переменный ток получил преимущественное распространение.

В начальной стадии развития электротехники применяли исключительно постоянный ток. В настоящее время преимущественное распространение получил переменный ток. Практика остановила свой выбор на синусоидальных изменениях переменных электрических величин. В дальнейшем, говоря о переменном токе, ЭДС, напряжении и магнитном потоке, мы будем считать их изменяющимися по синусоидальному закону. Постоянный ток, необходимый в промышленности на электрифицированном транспорте, в электросвязи и т. д., в большинстве случаев получают путем выпрямления переменного тока.

Переменные токи прямоугольной, трапецеидальной, треугольной и др. форм применяются в системах управления и автоматики. Определение: переменный электрический ток – электрический ток, изменяющийся во времени. Аналогично определяют переменные электрические напряжения, электродвижущую силу, магнитный поток и т.д. Переменные токи и переменные напряжения обычно изменяются по величине и по направлению через равные промежутки времени.

Если его мгновенные значения и направления через равные промежутки времени повторяются, то его называют периодически изменяющимся. Переменный ток возникает в результате действия наведенной переменной ЭДС и имеет переменные величину и направление. Переменная ЭДС возникает в результате изменения направления движения провода в магнитном поле, например, при движении провода по окружности между полюсами. При переменном токе электроны движутся вдоль провода сначала в одном направлении, затем на момент останавливаются и начинают движение в обратном направлении.

Мы будем рассматривать такие цепи, в которых при установившемся состоянии токи и напряжения изменяются по синусоидальному закону (гармонически). Следует отметить, что понятие установившегося электрического состояния цепи является в данном случае условным, так как в действительности происходит непрерывный процесс изменения во времени потенциалов, напряжений, токов и т. д. Однако такие изменения происходят периодически - повторяются через определенные промежутки времени. Синусоидальный ток имеет огромное практическое значение, в сравнении с постоянным током.

Преимущества синусоидального токи: 1.Легко трансформируется, преобразовывается и передается на большие расстояния. Экономический эффект при этом огромен. 2. Электротехнические устройства, в первую очередь электрические машины, предназначенные для работы в цепях переменного тока, относительно просты и достаточно надежны в эксплуатации 3. Изменение тока по синусоидальному закону происходит плавно, без скачков, что благоприятно сказывается на работе электротехнических устройств. Постоянный ток имеет преимущества, при передачи электроэнергии на сверхвысоких напряжениях (свыше 400 кВ) и в цепях системы автоматики, контроля и защиты цепей.

ПОЛУЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА возможно разными способами. Простейшим генератором синусоидальной ЭДС является проводник в виде прямоугольной рамки, вращающийся с постоянной угловой скоростью в постоянном однородном магнитном поле

Устройство, позволяет снимать и отводить во внешнюю цепь переменную ЭДС. Концы рамки присоединены к двум медным кольцам 3 и 4, к которым прижимают две угольные щетки 5 и 6. Во внешней цепи будет протекать изменяющийся по величине и направлению ток. Переменный ток на электрических схемах принято обозначать условным знаком ~.

В создании индуктированной ЭДС будут участвовать не все стороны рамки, а лишь те, которые пересекают магнитные линии. Эти стороны называются активными сторонами (1 и 2). Рассмотрим принцип получения переменного тока в результате преобразования механической энергии в электрическую.

Между полюсами магнита N-S создается однородное магнитное поле. Внутри поля под действием посторонней силы вращается по окружности со скоростью u по часовой стрелке металлический проводник. Как известно, пересечение проводником магнитных линий приведет к появлению в проводнике индуктированной ЭДС.

Величина этой ЭДС зависит от величины магнитной индукции В, активной длины проводника l, скорости пересечения проводником магнитных линий u и синуса угла α между направлением движения проводника и силовыми линиями магнитного поля:

При вращении проводник будет занимать различные положения. На рисунке положения проводника даны через 45°. Рассматривая отдельные положения проводника, мы видим, что угол пересечения α меняется от 0° до 90° и, кроме того, при переходе проводника через нейтральную линию направление ЭДС в проводнике меняется (правило правой руки).

В случае положения проводника в точках 3-7 угол α будет максимален и равен 90º. Следовательно и наведенное в проводнике ЭДС максимально.

В случае положения проводника в точках 1-5 угол α будет минимален и равен 0º. Следовательно и наведенное в проводнике ЭДС равно 0.

За один полный оборот проводника ЭДС в одной из сторон сначала увеличивается от нуля (положение 1) до максимального значения (+ E m ) (положение 3), затем уменьшается до нуля (положение 5), далее меняет направление, вновь увеличивается до максимального значения (- E m ) (положение 7) и вновь уменьшается до нуля (положение 1).

Так как цепь замкнута на сопротивление r, то через него будет протекать ток i, а на нем напряжение u, изменяющееся по тому же закону. Для наглядного представления о ходе изменения тока в проводнике i, индуктированной ЭДС e и напряжения на нагрузке u можно воспользоваться графическим методом.

По оси абсцисс откладываем углы поворота проводника, а по оси ординат величину тока e в проводнике в каждый момент времени. Соединяя значения величин в одну кривую, получаем синусоидальную кривую.

По такому же синусоидальному закону изменяется ток i и напряжения на нагрузке u, т.е. они периодически меняют свои направления и величину. Наименьший интервал времени, по истечении которого изменения переменной величины (ЭДС, напряжения или тока) повторяются, называется периодом, и обозначается буквой Т. Период измеряется в секундах.

Единицей измерения частоты является Герц (Гц; Hz). 1 Гц равен 1 периоду в секунду. В технике применяют переменные токи различной частоты. Стандартной частотой тока бытовой сети в России и других европейских странах читается частота 50 Гц. В США стандартной является частота f = 60 Гц. Число периодов в единицу времени (в секунду) называется частотой переменного тока и обозначается буквой f.

Между периодом и частотой существует следующая зависимость.

На линиях телефонной связи употребляют токи частотой порядка сотен и тысяч герц. Токи частотой несколько миллионов и миллиардов герц применяют в радиотехнике. Частота переменного тока измеряется приборами- частотомерами.

Задача 4.1. Определить период тока, если частота его 50 Гц: с

Угловая частота (скорость изменения аргумента синусоидальной функции) ω (омега) вращения равна углу поворота вектора в единицу времени:, рад/c

Время одного оборота будет равно периоду T, а угол поворота равен 2π. Угловую частоту за один оборот тогда можно выразить так:, рад/c

Угол α называется фазным углом, или фазой. Проекция вектора ОА на ось ординат равна произведению величины вектора на синус фазного угла, т. е. Следовательно, проекция вращающегося вектора ОА изменяется по закону синуса. Если длина вектора будет Аm, то мгновенное значение проекции а равно

При α = 0 ˚ величина При α = 90 ˚ величина В последнем случае мгновенное значение проекции равно ее амплитудному или максимальному значению. Am - максимальное значение функции или ее амплитуда

Если радиус-вектор в начальный момент отсчета времени (t = 0) составляет некоторый угол Ψ с горизонтальной осью, то в этом случае мгновенное значение переменной величины будет: Угол Ψ (пси) называется начальным фазовым углом, или начальной фазой.

Если векторы сдвинуть один относительно другого на определенный угол α и вращать их вокруг точки О, то мы получим две синусоидальные кривые, сдвинутые, как говорят, по фазе между собой на тот же угол α. Например для двух синусоид, сдвинутых но фазе на угол α, равный 90°.

В этом случае о кривой a1 говорят, что она опережает кривую а2 по фазе на 90°, или, наоборот, кривая a2 отстает по фазе от кривой a1 на 90°. Уравнения для таких величин запишутся так:

Для тока, напряжения и ЭДС: i = I m sin(ωt+ψ i ) ; u = U m sin(ωt+ψ u ) ; e = E m sin(ωt+ψ e ). Значение переменной величины (тока, напряжения, ЭДС) в рассматриваемый момент времени называется мгновенным значением и обозначается малой буквой (i ток, u напряжение, е ЭДС) Наибольшее из мгновенных значений переменной величины называется ее максимальным, или амплитудным, значением и обозначается большой буквой с индексом m, например I m, E m, U m. Помимо этих величин в цепях переменного тока широко используются т.н. действующие значения. Понятие действующего значения определяется из условия равенства теплового эффекты переменного и постоянного токов.

Пусть через некоторый участок электрической цепи с сопротивлением r протекает переменный ток i. Тогда по закону Джоуля-Ленца на этом участке за время T, соответствующее периоду тока i, будет выделено количество тепла равное Обозначим через I некоторый постоянный ток, при протекании которого по тому же участку цепи за время T выделится такое же количество тепла. Тогда с учетом того, что i = I m sin(ωt+ψ i ) получим:

Величина постоянного тока эквивалентного переменному току по количеству выделяемого тепла называется действующим или среднеквадратичным значением переменного тока. Синусоидальный переменный ток равноценен по мощности постоянному току, который составляет 0,707 амплитудного значения переменного тока. По аналогии с током действующие значения вводятся для напряжений и ЭДС. Действующие значения обозначаются прописными буквами без индекса (U, E, I).

На шкалах электроизмерительных приборов переменного тока наносятся действующие значении тока и напряжения. Также в паспорте электротехнических устройств синусоидального тока указаны действующие значения напряжения и токов. Действующие значения обозначаются прописными буквами без индекса (U, E, I).

Векторное изображение синусоидально изменяющихся величин На декартовой плоскости из начала координат проводят векторы, равные по модулю амплитудным значениям синусоидальных величин, и вращают эти векторы против часовой стрелки (в электротехнике данное направление принято за положительное) с угловой частотой, равной ω. Фазовый угол при вращении отсчитывается от положительной полуоси абсцисс. Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям напряжения и тока. Совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными диаграммами.

Векторные диаграммы нашли широкое применение при анализе цепей синусоидального тока. Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым. Это упрощение заключается в том, что сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов.

Пусть, например, в точке разветвления цепи общий ток i3 равен сумме токов i1 и i2 ветвей: Каждый из этих токов синусоидален и может быть представлен уравнением

Результирующий ток также будет синусоидален Определение амплитуды I 3m и начальной фазы Ψ 3 этого тока путем соответствующих тригонометрических преобразований получается довольно громоздким и мало наглядным, особенно, если суммируется большое число синусоидальных величин. Значительно проще это осуществляется с помощью векторной диаграммы.

Пусть изображены начальные положения векторов токов I 1m и I 2m, проекции которых на ось ординат дают мгновенные значения токов для t=0. При вращении этих векторов с одинаковой угловой скоростью ω их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз между ними остается равным

Так как алгебраическая сумма проекций векторов на ось ординат равна мгновенному значению общего тока, вектор общего тока равен геометрической сумме векторов токов:

Построение векторной диаграммы в масштабе позволяет определить значения I 3m и Ψ 3 из диаграммы, после чего может быть записано решение для мгновенного значения i 3 путем формального учета угловой частоты:

Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов. Любое комплексное число обозначают Его можно изобразить на комплексной плоскости точкой с радиусом вектором и представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах: или

Алгебраическая Тригонометрическая Показательная

Где - модуль комплексного числа, a – вещественная (действительная) часть комплексного числа, b – мнимая часть комплексного числа. - аргумент комплексного числа