1.Верно ли, что две прямые, параллельные одной плоскости, перпендикулярны (две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны). 2.Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости, скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости (прямая, перпендикулярная к плоскости, быть параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)? 3.Верно ли, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум прямым этой плоскости (она перпендикулярна к двум прямым, параллельным этой плоскости)? 4.Могут ли две скрещивающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости (две пересекающиеся прямые быть перпендикулярными к одной плоскости)?

5.Верно ли, что любая из трех взаимно перпендикулярных прямых перпендикулярна к плоскости двух других прямых (две прямые в пространстве, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны)? 6.Могут ли пересекаться две плоскости, перпендикулярные к одной прямой ( прямая а и плоскость, перпендикулярные к одной прямой с)? 7.Верно ли, что длина перпендикуляра меньше длины наклонной, проведенной из той же точки (длина перпендикуляра меньше длины проекции наклонной, проведенной из той же точки)?

I уровень.(на «3») Дано:, АС ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см – медиана. Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости (АВС)). II уровень ( на «4») Дано: ABCD – прямоугольник; АК (АВС), KD= 6 см, КВ = = 7 см, КС = 9 см. Найти: расстояние от точки К до (АВС). III уровень.( на «5») Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ (АВС),

Критерии оценок 7 правильных ответов – «5» 6 правильных ответов – «4» 5 правильных ответов – «3» I вариант II вариант

Вспомним! 1.Что называют углом? 2. Классифицируйте углы по градусной мере. 1) острые2) тупые3) прямые 3. Как называются углы, на рисунках?

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.

Прямую, по которой пересекаются плоскости – границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, - гранями двугранного угла. Ребро двугранного угла

Прямую, по которой пересекаются плоскости – границы полупространств, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный угол, - гранями двугранного угла. Грань двугранного угла

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

K B a A β T A β a B Двугранный угол с гранями, β ребром а обозначают а β. Можно использовать и такие обозначения двугранного угла, как KABT; AB β (рис.94,95). Рис.94 Рис.95

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре а двугранного угла а β отметим произвольную точку O и в гранях и β проведём из точки O соответственно лучи ОА и ОВ, перпендикулярные ребру а. а β О А В Угол АОВ, образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла а β. Линейный угол двугранного угла

а β О А В Так как ОА а,ОВ а, то плоскость АОВ перпендикулярна прямой а. γ линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру. Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу. А ВO А1А1А1А1 В1В1В1В1O 1 Лучи ОА и О 1 А 1 – сонаправлены Лучи ОВ и О 1 В 1 – сонаправлены Углы АОВ и А 1 О 1 В 1 равны, как углы с сонаправленными сторонами Теорема : Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Определение : Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Величина двугранного угла (измеренная в градусах ) принадлежит промежутку (0°;180°).

Алгоритм построения линейного угла А В М D Р С АВМС = Р Угол Р – линейный угол двугранного угла АВМС

Способ построения линейного угла. 1. Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного угла 2. В гранях найти прямые перпендикулярные ребру 3. (при необходимости) заменить выбранные прямые параллельными им лучами с общим началом на ребре двугранного угла При изображении сохраняется параллельность и отношение длин параллельных отрезков

Двугранный угол является острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. а β острый

Двугранный угол является острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. а β прямой

Двугранный угол является острым, прямым или тупым, если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. а β тупой

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы. γ а β смежные

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы. β β1β1 а 1 вертикальные

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – равнобедренный. А С В N П-р Н-я П-я TTП АС ВМ H-я H-я АС NМ П-я П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК К M

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – прямоугольный. А В N П-р Н-я П-я TTП АС ВС H-я H-я АС NС П-я П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК. Треугольник АВС – тупоугольный. А В N П-р Н-я П-я TTП АС ВS H-я H-я АС NS П-я П-я Угол ВSN – линейный угол двугранного угла ВАСК К С S

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – прямоугольник. А В N П-р Н-я П-я TTП DС BС H-я H-я DС NС П-я П-я Угол ВСN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – параллелограмм, угол С острый. А В П-р П-я TTП DС ВM H-я H-я DС NM П-я П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D N Н-я M

Построить линейный угол двугранного угла ВDСК. АВСD – трапеция, угол С острый. А В П-р П-я TTП DС ВM H-я H-я DС NM П-я П-я Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВDСК К С D Н-я M N

АС АСР и АСВ прямая СВ перпендикулярна ребру СА ( по условию) В грани АСВ В грани АСР прямая СР перпендикулярна ребру СА ( по теореме о трех перпендикулярах) угол РСВ - линейный для двугранного угла с ребром АС

АС АСРи АСВ В грани АСВ прямая ВО перпендикулярна ребру СА ( по свойству равностороннего треугольника) В грани АСРпрямая РК перпендикулярна ребру СА ( по теореме о трех перпендикулярах) Угол РКВ - линейный для двугранного угла с РСАВ К

С А В D M В тетраэдре DАВС все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD

Двугранный угол равен. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла В d N А ?

1. В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD1. Ответ: ПОДУМАЙ! ПРАВИЛЬНО!

ПОДУМАЙ! 2.В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA1. Ответ: ПРАВИЛЬНО!

3.В кубе A…D1 найдите угол между плоскостями ABC и BC1D. ПОДУМАЙ! Ответ: О

Определение : Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении. Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается равным нулю.

β β1β1 а 1 с Если величина угла между плоскостями и β равна, то пишут : ( ; β)=. Величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0°;90°].